Transformadas de seno e de cosseno

As vibrações de uma corda de violino podem ser analisadas de forma mais simples através da transformada de seno do que através da transformada de Fourier.

Em matemática, a transformada de seno (ou transformada de Fourier de seno) e a transformada de cosseno (ou transformada de Fourier de cosseno) de uma função $f(x)$ são as transformadas integrais definidas, respectivamente, pela parte imaginária e pela parte real da transformada de Fourier de $f(x)$.

Essas transformadas podem ser consideradas casos especiais da transformada de Fourier que aparecem naturalmente quando $f(x)$ é uma função, respectivamente, ímpar ou par.

• A transformada de cosseno de uma função par concorda com a transformada de Fourier
• A transformada de seno de uma função ímpar concorda com a transformada de Fourier
• Mais geralmente, a transformada de cosseno/seno da parte par/ímpar de uma função é igual a 1/i vezes a parte par/ímpar da transformada de Fourier daquela função, se as componentes de frequência negativa forem desconsideradas.

Como os núcleos das transformações não possuem as propriedades notáveis da função exponencial complexa usada pela transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno são menos interessantes matematicamente; por outro lado, certas características as tornam adequadas para aplicação em problemas específicos, especialmente no caso das suas versões discretas.

Definição

Como a transformada de Fourier é definida por

$F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.$

Expandindo o integrando por meio da fórmula de Euler, obtemos a integral

$F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{\omega t}-i\,\sin {\,\omega t})\,dt,$

que pode ser escrita como a soma de duas integrais

$F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt.$

Se $f(t)$ for uma função ímpar, o produto f(t)cosωt será também uma função ímpar, enquanto que o produto f(t)sinωt será uma função par. Uma vez que a integral está sendo calculada em um intervalo simétrico em torno da origem (i.e. -∞ to +∞), a primeira integral deve ser igual a zero, e a segunda pode ser expressa de forma simplificada como

$F(\omega )=-i\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt,$

que é a transformada de seno da função $f(t)$. Obviamente, a função resultante $F($ω$)$ será também uma função ímpar.

Raciocínio similar aplicado à transformada inversa de Fourier resulta em uma segunda transformada de seno

$f(t)=i\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }F(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega .$

Os fatores numéricos nas fórmulas das transformadas de Fourier são convencionais, por isso os multplicadores podem ser omitidos, resultando na forma mais comum das transformadas de seno e sua inversa

${\mathcal {S}}\{f(t)\}\;=\;S(\omega )\;=\;\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt\;\;\;\;\;(1a)$

e

$f(t)\;=\;{\mathcal {S}}^{-1}\{S(\omega )\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }S(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega \;\;\;\;\;(1b)$

Se $f(t)$ for uma função par, raciocínio similar resulta em

${\mathcal {C}}\{f(t)\}\;=\;C(\omega )\;=\;\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt\;\;\;\;\;(1c)$

que é a transformada de cosseno de $f(t)$, que é uma função par, e na fórmula da transformada inversa

$f(t)\;=\;{\mathcal {C}}^{-1}\{C(\omega )\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }C(\omega )\cos \,{\omega t}\,d\omega \;\;\;\;\;(1d)$

Condições de existência

Para que as transformadas existam, é condição suficiente que

• f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
• f'(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]

Se essas condições são satisfeitas, então, se F(ω) = F{f(t)} é a transformada de seno ou de cosseno de f(t), e F^-1{F(ω)} é a respectiva inversa, então

• F^-1{F(ω)} é igual a f(t) em todo subintervalo de [0,∞] onde f(t) é contínua
• F^-1{F(ω)} é igual à média de f(t-ε) e f(t+ε) em toda descontinuidade de f(t)

Condições suficientes mais fortes são requeridas para algumas das propriedades tratadas abaixo:

• f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
• f(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]

No que segue, trataremos esses dois conjuntos de condições por condições fracas e condições fortes de existência, respectivamente.

Propriedades

Escalamento no domínio do tempo

${\mathcal {C}}\{f(at)\}\;=\;{\frac {1}{a}}\cdot C\left({\frac {\omega }{a}}\right)\qquad |\;a\;>\;0\;\;\;\;\;(2a)$

${\mathcal {S}}\{f(at)\}\;=\;{\frac {1}{a}}\cdot S\left({\frac {\omega }{a}}\right)\qquad |\;a\;>\;0\;\;\;\;\;(2b)$

Deslocamento do eixo do tempo

Se a é um número real positivo e f_p(t) é uma função par tal que

• f(_p(t) = f(|t|) no intervalo [-a,∞]
• f(_p(t) atende às condições fortes de existência das transformadas no intervalo [-a,∞]

então f(_p(t) é a extensão par de f(t) nesse intervalo, e valem as relações

${\mathcal {C}}\{f_{p}(t\;+\;a)\;+\;f_{p}(t\;-\;a)\}\;=\;{\mathcal {C}}\{f(t\;+\;a)\;+\;f_{p}(|t\;-\;a|)\}\;=\;2\cdot \cos(a\omega )\cdot C(\omega )\;\;\;\;\;(2c)$

${\mathcal {S}}\{f_{p}(t\;-\;a)\;-\;f_{p}(t\;+\;a)\}\;=\;{\mathcal {S}}\{f(|t\;-\;a|)\;-\;f_{p}(t\;+\;a)\}\;=\;2\cdot \sin(a\omega )\cdot C(\omega )\;\;\;\;\;(2d)$

Se, por outro lado, a é um número real positivo e f_i(t) é uma função ímpar tal que

• f(_i(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-a,∞], onde sgn(t) é a função sinal
• f(_i(t) atende às condições fortes de existência das transformadas no intervalo [-a,∞]

então f(_p(t) é a extensão ímpar de f(t) nesse intervalo, e valem as relações

${\mathcal {S}}\{f_{i}(t\;+\;a)\;+\;f_{i}(t\;-\;a)\}\;=\;2\cdot \cos(a\omega )\cdot S(\omega )\;\;\;\;\;(2e)$

${\mathcal {C}}\{f_{i}(t\;+\;a)\;+\;f_{i}(t\;-\;a)\}\;=\;2\cdot \sin(a\omega )\cdot C(\omega )\;\;\;\;\;(2f)$

Deslocamento do eixo da frequência

${\mathcal {C}}\{f(t)\cdot \cos(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}C(\omega \;+\;a)\;+\;C(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2g)$

${\mathcal {C}}\{f(t)\cdot \sin(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}S(\omega \;+\;a)\;-\;S(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2h)$

${\mathcal {S}}\{f(t)\cdot \cos(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}S(\omega \;+\;a)\;+\;S(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2i)$

${\mathcal {S}}\{f(t)\cdot \sin(at)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}C(\omega \;+\;a)\;-\;C(\omega \;-\;a)\right]\;\;\;\;\;(2j)$

Diferenciação no domínio do tempo

Se fⁿ(t), com n em algarismos romanos, denota a derivada de ordem n de f(t), t_k^p denota uma das m(p) descontinuidades da derivada de ordem p de f(t) (com p < n, evidentemente, e p em algarismos romanos), e h_k^p denota a amplitude dessas descontinuidades, então valem as relações seguintes:

$h_{k}^{p}\;=\;f^{p}(t_{k}^{p}\;+\;\epsilon )\;-\;f^{p}(t_{k}^{p}\;-\;\epsilon )\;\;\;\;\;(2k)$

${\mathcal {C}}\{f^{I}(t)\}\;=\;\omega S(\omega )\;-\;f(0)\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\cos(\omega t_{k})$

${\mathcal {C}}\{f^{II}(t)\}\;=\;-\omega ^{2}C(\omega )\;-\;f^{I}(0)\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\sin(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\cos(\omega t_{k})$

${\mathcal {C}}\{f^{III}(t)\}\;=\;-\omega ^{3}S(\omega )\;+\;\omega ^{2}f(0)\;-\;f^{II}(0)\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \cos(\omega t_{k})\;+\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\sin(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\cos(\omega t_{k})$

${\mathcal {C}}\{f^{IV}(t)\}\;=\;\omega ^{4}C(\omega )\;+\;\omega ^{2}f^{I}(0)\;-\;f^{III}(0)\;+\;\omega ^{3}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \sin(\omega t_{k})\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\cos(\omega t_{k})\;-\;...$

$...\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\sin(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(III)}h_{k}^{III}\cos(\omega t_{k})\;\;\;\;\;(2l)$

e assim por diante; para a transformada de seno:

${\mathcal {S}}\{f^{I}(t)\}\;=\;\omega C(\omega )\;+\;\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\sin(\omega t_{k})$

${\mathcal {S}}\{f^{II}(t)\}\;=\;-\omega ^{2}S(\omega )\;+\;\omega f(0)\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\cos(\omega t_{k})\;+\;\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\sin(\omega t_{k})$

${\mathcal {C}}\{f^{III}(t)\}\;=\;-\omega ^{3}C(\omega )\;+\;\omega ^{2}f(0)\;-\;f^{II}(0)\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \sin(\omega t_{k})\;-\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\cos(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\sin(\omega t_{k})$

${\mathcal {C}}\{f^{IV}(t)\}\;=\;\omega ^{4}S(\omega )\;-\;\omega ^{3}f(0)\;+\;\omega f^{II}(0)\;-\;\omega ^{3}\sum _{k\;=\;1}^{m}h_{k}\omega \cos(\omega t_{k})\;+\;\omega ^{2}\sum _{k\;=\;1}^{m(I)}h_{k}^{I}\sin(\omega t_{k})\;+\;...$

$...\;+\;\omega \sum _{k\;=\;1}^{m(II)}h_{k}^{II}\cos(\omega t_{k})\;-\;\sum _{k\;=\;1}^{m(III)}h_{k}^{III}\sin(\omega t_{k})\;\;\;\;\;(2m)$

e assim por diante.

Integração no domínio do tempo

${\mathcal {C}}\left\{\int _{t}^{\infty }f(t)\;dt\right\}\;=\;{\frac {1}{\omega }}S(\omega )\;\;\;\;\;(2n)$

${\mathcal {S}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\;dt\right\}\;=\;{\frac {1}{\omega }}C(\omega )\;\;\;\;\;(2o)$

também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas.

Integração no domínio da frequência

${\mathcal {S}}^{-1}\left\{\int _{\omega }^{\infty }C(\omega )\;d\omega \right\}\;=\;-{\frac {1}{t}}f(t)\;\;\;\;\;(2p)$

${\mathcal {C}}^{-1}\left\{\int _{\omega }^{\infty }S(\omega )\;d\omega \right\}\;=\;{\frac {1}{t}}f(t)\;\;\;\;\;(2q)$

também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas.

Potências de t

${\mathcal {C}}\{t^{2n}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n}\;{\frac {d^{2n}}{d\omega ^{2n}}}\;C(\omega )$

${\mathcal {C}}\{t^{2n\;+\;1}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n\;+\;1}\;{\frac {d^{2n\;+\;1}}{d\omega ^{2n\;+\;1}}}\;S(\omega )\quad |\;n\;>\;0\;\;\;\;\;(2r)$

${\mathcal {S}}\{t^{2n}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n}\;{\frac {d^{2n}}{d\omega ^{2n}}}\;S(\omega )$

${\mathcal {S}}\{t^{2n\;+\;1}\cdot f(t)\}\;=\;(-1)^{n\;+\;1}\;{\frac {d^{2n\;+\;1}}{d\omega ^{2n\;+\;1}}}\;C(\omega )\quad |\;n\;>\;0\;\;\;\;\;(2s)$

onde ${\frac {d^{p}}{d\omega ^{p}}}\;F(\omega )$ denota a derivada de ordem p de F(ω). As funções a ser transformadas em cada caso devem atender às condições fortes de existência das transformadas.

Lema de Riemann-Lebesgue

A formulação do lema de Riemann-Lebesgue para essas transformadas é a seguinte:

$\lim _{\omega \to \infty }C(\omega )\;=\;\lim _{\omega \to \infty }S(\omega )\;=\;0\;\;\;\;\;(2t)$

Aqui também é necessário que f(t) atenda às condições fortes de existência das transformadas.

Convolução

Se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e f_p(t) e g_p são uma funções pares tal que

• f(_p(t) = f(|t|) no intervalo [-∞,∞]
• g(_p(t) = g(|t|) no intervalo [-∞,∞]

então f(_p(t) e g(_p(t) são as extensões pares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação

${\mathcal {C}}\{f_{p}(t)\;*\;g_{p}(t)\}\;=\;2\cdot {\mathcal {C}}\{f(t)\}\cdot {\mathcal {C}}\{g(t)\}\;\;\;\;\;(2u)$

onde o símbolo * denota a convolução de duas funções.

Além disso, se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e f_i(t) e g_i são uma funções pares tal que

• f(_i(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-∞,∞], onde sgn(t) é a função sinal
• g(_i(t) = sgn(t)·g(|t|) no intervalo [-∞,∞]

então f(_i(t) e g(_i(t) são as extensões ímpares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação

${\mathcal {C}}\{f_{i}(t)\;*\;g_{i}(t)\}\;=\;2\cdot {\mathcal {S}}\{f(t)\}\cdot {\mathcal {S}}\{g(t)\}\;\;\;\;\;(2v)$

Relação com a Transformada de Fourier

A partir das expressões (1a) a (1d), pode-se escrever

${\mathcal {F}}\{f(t)\cdot u(t)\}\;=\;{\frac {1}{2}}\left[{\frac {}{}}C(\omega )\;-\;iS(\omega )\right]\;\;\;\;\;(3a)$

onde u(t) é a função degrau unitário.

$C(\omega )\;=\;{\mathcal {F}}\{f(t)\;+\;f(-t)\}\;\;\;\;\;(3b)$

$S(\omega )\;=\;i\cdot {\mathcal {F}}\{f(t)\;-\;f(-t)\}\;\;\;\;\;(3c)$

Tabelas de transformadas de seno e de cosseno

Tabela 1 - Transformadas de seno de algumas funções f(t)

$f(t)$	$S(\omega )$
$rect\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)$	${\frac {1}{\omega }}\left[1\;-\;\cos(a\omega )\right]$
$tri\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)$	${\frac {1}{a\omega ^{2}}}\left[{\frac {}{}}2\sin(a\omega )\;-\;\sin(2a\omega )\right]$
${\frac {1}{t}}\cdot u(t\;-\;a)$	$-Ci(a\omega )$
${\frac {1}{\sqrt {t}}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{2\omega }}}$
${\frac {1}{z\;+\;t}}$	$\sin(a\omega )\cdot Ci(a\omega )\;-\;\cos(a\omega )\cdot si(a\omega )$
${\frac {1}{a^{2}\;+\;t^{2}}}$	${\frac {1}{2a}}\left[e^{-a\omega }\cdot {\bar {Ei}}(a\omega )\;-\;e^{a\omega }\cdot Ei(-a\omega )\right]$
${\frac {1}{a^{2}\;-\;t^{2}}}$	${\frac {1}{a}}\left[\sin(a\omega )\cdot Ci(a\omega )\;-\;\cos(a\omega )\cdot Si(a\omega )\right]$
${\frac {b}{b^{2}\;+\;(a\;-\;t)^{2}}}$	$\pi \sin(a\omega )\cdot e^{-b\omega }$
${\frac {a\;+\;t}{b^{2}\;+\;(a\;+\;t)^{2}}}\;-\;{\frac {a\;-\;t}{b^{2}\;+\;(a\;-\;t)^{2}}}$	$\pi \sin(a\omega )\cdot e^{-b\omega }$
$e^{-bt}$	${\frac {\omega }{b^{2}\;+\;\omega ^{2}}}$
$\ln \left({\frac {t\;+\;a}{t\;-\;a}}\right)$	${\frac {\pi }{\omega }}\sin(a\omega )$
${\frac {\sin(at)}{t}}$	${\frac {1}{2}}\;\ln \left({\frac {\omega \;+\;a}{\omega \;-\;a}}\right)$
${\frac {e^{-dt}\cdot \sin(ct)}{t}}$	${\frac {1}{4}}\ln \left({\frac {b^{2}\;+\;(\omega \;+\;a)^{2}}{b^{2}\;+\;(\omega \;-\;a)^{2}}}\right)$
$e^{-dt}\cdot \cos(ct)$	${\frac {1}{2}}\left[{\frac {\omega \;-\;a}{b^{2}\;+\;(\omega \;-\;a)^{2}}}\;+\;{\frac {\omega \;+\;a}{b^{2}\;+\;(\omega \;+\;a)^{2}}}\right]$
$si(at)$	$-{\frac {\pi }{2\omega }}\qquad |\;\omega \;>\;a$
$Ei(-at)$	$-{\frac {1}{2\omega }}\ln \left({\frac {\omega ^{2}}{a^{2}}}\;+\;1\right)$

Tabela 2 - Transformadas de cosseno de algumas funções f(t)

$f(t)$	$C(\omega )$
$rect\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)$	${\frac {1}{\omega }}\sin(a\omega )$
$tri\left({\frac {t}{a}}\;-\;1\right)$	${\frac {1}{a\omega ^{2}}}\left[{\frac {}{}}2\cos(a\omega )\;-\;\cos(2a\omega )\right]$
${\frac {1}{t}}\cdot u(t\;-\;a)$	$-si(a\omega )$
${\frac {1}{\sqrt {t}}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{2\omega }}}$
${\frac {1}{z\;+\;t}}$	$-\cos(a\omega )\cdot Ci(a\omega )\;-\;\sin(a\omega )\cdot si(a\omega )$
${\frac {1}{b^{2}\;+\;t^{2}}}$	${\frac {\pi }{2b}}\;e^{-b\omega }$
${\frac {1}{a^{2}\;-\;t^{2}}}$	${\frac {\pi }{2a}}\sin(a\omega )$
${\frac {d}{d^{2}\;+\;(c\;-\;t)^{2}}}\;+\;{\frac {d}{d^{2}\;+\;(c\;+\;t)^{2}}}$	$\pi \cos(c\omega )\cdot e^{-d\omega }$
${\frac {c\;-\;t}{d^{2}\;+\;(c\;-\;t)^{2}}}\;+\;{\frac {c\;+\;t}{d^{2}\;+\;(c\;+\;t)^{2}}}$	$\pi \sin(c\omega )\cdot e^{-d\omega }$
$e^{-bt}$	${\frac {b}{b^{2}\;+\;\omega ^{2}}}$
$e^{-bt^{2}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}\;e^{\frac {\omega ^{2}}{4b}}$
${\frac {1}{t}}\;\left(e^{-bt}\;-\;e^{-ht}\right)$	${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {h^{2}\;+\;\omega ^{2}}{b^{2}\;+\;\omega ^{2}}}\right)$
$sinc(t)$	${\frac {\pi }{2a}}u(a-\omega )$
$e^{-bt}\cdot \sin(at)$	${\frac {1}{2}}\left[{a\;+\;\omega }{b^{2}\;+\;(a\;+\;\omega )^{2}}\;+\;{\frac {a\;-\;\omega }{b^{2}\;-\;(a\;-\;\omega )^{2}}}\right]$
$e^{-dt}\cdot \sin(ct)$	${\frac {d}{2}}\left[{\frac {1}{b^{2}\;+\;(a\;+\;\omega )^{2}}}\;+\;{\frac {1}{b^{2}\;-\;(a\;-\;\omega )^{2}}}\right]$
$si(at)$	$-{\frac {1}{2\omega }}\ln \left({\frac {\omega \;+\;a}{\omega \;-\;a}}\right)$
$Ci(at)$	$-{\frac {\pi }{2\omega }}\qquad |\;\omega \;>\;a$
$Ei(-at)$	$-{\frac {1}{\omega }}\arctan \left({\frac {\omega }{a}}\right)$
onde: $u(x)\,$ é a função degrau unitário $Ci(x)\,$ é a função cosseno integral $Si(x)\,$ é a função seno integral $si(x)\,$ está relacionada à função Si(x) $Ei(x)\,$ é a função exponencial integral ${\bar {Ei}}(x)\,$ está relacionada à função Ei(x) $rect(x)\,$ é a função retangular $tri(x)\,$ é a função triangular $sinc(x)\,$ é a função seno cardinal $a\in {\mathcal {R}}\;|\;a\;>\;0\,$ $b,h\in {\mathcal {C}}\;|\;\Re \{b\}\;>\;0\,$ $c,d\in {\mathcal {C}}\;|\;\Im \{c\}\;<\;\Re \{d\}\,$ $z\in {\mathcal {C}}\;|\;0\;\leq \;Arg(z)\;<\;\pi \,$

Exemplos de aplicação

Análise de vibrações sob condições específicas

Uma corda de violino, afastada da posição de repouso em um ponto qualquer diferente do centro, experimentará vibrações após liberada. Chamemos y(x,t) à distância da corda em relação à posição de repouso em um dado ponto x qualquer e em um instante dado t. Sempre se pode escolher um sistema de coordenadas em que o comprimento da mesma é unitário; da mesma forma, a amplitude do deslocamento inicial produzido pode ser feita unitária. Seja x = b a posição em que foi inserida a perturbação. A corda estará sujeita à condição de contorno y(0,t) = y(1,t) = 0 para todo t, e podemos escrever

$y(x,0)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&x\;<\;0\\{\frac {x}{b}}&:&0\;<\;x\;<\;b\\\\{\frac {1\;-\;x}{1\;-\;b}}&:&b\;<\;x\;<\;1\\\\0&:&x\;>\;1\end{matrix}}\right.$

A transformada de seno de y(x,t) é, de acordo com a definição (1a)

${\mathcal {F}}\{y(x,0)\}\;=\;Y(\omega )\;=\;\int _{0}^{\infty }y(x,0)\cdot \sin(\omega x)\;dx$

$Y(\omega )\;=\;\int _{0}^{b}{\frac {x}{b}}\cdot \sin(\omega x)\;dx\;+\;\int _{b}^{1}{\frac {1\;-\;x}{1\;-\;b}}\cdot \sin(\omega x)\;dx\;=\;{\frac {1}{b}}\left.\left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {x\cos(\omega x)}{\omega }}\right]\right|_{0}^{b}\;+\;\left.{\frac {x}{1\;-\;b}}\right|_{b}^{1}\;-\;{\frac {1}{1\;-\;b}}\left.\left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {x\cos(\omega x)}{\omega }}\right]\right|_{b}^{1}$

$Y(\omega )\;=\;{\frac {1}{b}}\left[{\frac {\sin(\omega b)}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {b\cos(\omega b)}{\omega }}\right]\;+\;{\frac {1\;-\;b}{1\;-\;b}}\;-\;{\frac {1}{1\;-\;b}}\left[{\frac {\sin(\omega )}{\omega ^{2}}}\;-\;{\frac {\cos(\omega )}{\omega }}\;-\;{\frac {\sin(\omega b)}{\omega ^{2}}}\;+\;{\frac {b\cos(\omega b)}{\omega }}\right]$

$Y(\omega )\;=\;1\;+\;\left({\frac {1}{b\omega ^{2}(1\;-\;b)}}\right)\cdot \left({\frac {}{}}(1\;-\ b)\left[\sin(\omega b)\;-\;\omega b\cos(\omega b)\right]\;-\;\left[b\sin(\omega )\;-\;\omega b\cos(\omega )\;-\;b\sin(\omega b)\;+\;\omega b^{2}\cos(\omega b)\right]\right)$

$Y(\omega )\;=\;1\;+\;\left({\frac {1}{b\omega ^{2}(1\;-\;b)}}\right)\cdot \left({\frac {}{}}\sin(\omega b)\;-\;\omega b\cos(\omega b)\;-\;b\sin(\omega )\;+\;\omega b\cos(\omega )\right)$

que só envolve coeficientes reais e é mais simples que a transformada de Fourier de y(x,0).

Neste exemplo as condições de contorno levaram à escolha natural da transformada de seno. Um exemplo em que a transformada de cosseno seria a escolha natural é a análise de ondas estacionárias em um canal fechado em ambas as extremidades.

Solução de equação diferencial parcial sob condições específicas

Seja a equação diferencial parcial

${\frac {\partial }{\partial t}}\;u(x,t)\;+\;{\frac {\partial ^{2}}{\partial x}}\;u(x,t)\;=\;h(x,t)$

onde u é a função de duas variáveis, x e t, que se deseja encontrar, e as condições de contorno são u(x,0) = f(x) e u(0,t) = g(t), sendo dadas as funções h(x,t), f(x) e g(t). Aplicando-se a transformação de seno em relação à variável x, e em vista das propriedades (2m), teremos

${\frac {\partial }{\partial t}}\;U(\omega ,t)\;+\;\omega ^{2}U(\omega ,t)\;-\;\omega \cdot g(t)\;=\;H(\omega ,t)$

onde U(ω,t) e H(ω,t) são as transformadas de seno de u(x,t) e h(x,t), respectivamente. Resolvendo-se a equação para U(ω,t)

$U(\omega ,t)\cdot e^{\omega ^{2}t}\;=\;\int _{0}^{t}\left[\omega \cdot g(\tau )\;+\;H(\omega ,\tau )\right]e^{\omega ^{2}\tau }\;d\tau \;+\;C_{1}$

onde C₁ é uma constante de integração. Fazendo-se t = 0 nesta última equação, teremos $U(\omega ,0)\;=\;C_{1}\;=\;F(\omega )$, onde F(ω) é a transformada de seno de f(x). Assim,

$U(\omega ,t)\;=\;e^{-\omega ^{2}t}\left(\int _{0}^{t}\left[\omega \cdot g(\tau )\;+\;H(\omega ,\tau )\right]e^{\omega ^{2}\tau }\;d\tau \;+\;F(\omega )\right)$

e u(x,t) é obtida a partir da aplicação da transformada inversa de seno a esta última equação.

Solução de equação diferencial ordinária sob condições específicas

Seja a equação diferencial de segunda ordem

$x''(t)\;+\;\lambda x(t)\;=\;f(t)$

onde λ é uma constante, com condições de contorno x'(0) = 0 e x(∞) = 0, e sendo dada a função f(t)

$f(t)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&t\;\leq \;0\\A&:&0\;<\;t\;<\;b\\0&:&t\;\geq \;b\end{matrix}}\right.\;=\;A\left[{\frac {}{}}1\;-\;u(t-b)\right]$

onde u(x) é a função degrau unitário. Aplicando-se a transformação de cosseno às equações, e em vista das propriedades (2l), teremos

$-\omega ^{2}X(\omega )\;-\;\lambda ^{2}X(\omega )\;=\;{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega b)$

onde X(ω) é a transformada de cosseno de x(t). Resolvendo-se para X(ω), tem-se

$X(\omega )\;=\;{\frac {A}{\lambda ^{2}}}\left[{\frac {\omega \sin(\omega b)}{\omega ^{2}\;+\;\lambda ^{2}}}\;-\;{\frac {\sin(\omega b)}{\omega }}\right]$

A aplicação da transformada inversa fornece a resposta

$X(\omega )\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {A}{\lambda ^{2}}}\left[e^{-\lambda b}\cosh(\lambda t)\;-\;1\right]&:&t\;<\;b\\\\-{\frac {A}{\lambda ^{2}}}e^{-\lambda t}\sinh(\lambda b)&:&t\;>\;b\end{matrix}}\right.$

As condições de contorno favoreceram o uso da transformada de cosseno; confrontar essas condições com as dos exemplos anteriores, que favoreceram o uso da transformada de seno. A solução por meio daquela transformação evitou o emprego de números complexos, que seriam usados se fosse escolhida em seu lugar a transformada de Fourier.

Transformações relacionadas

As transformadas discretas de seno e de cosseno

Em aplicações práticas, as transformadas são aplicadas não a funções contínuas do tempo, e sim a amostras de tais funções. Os dados obtidos têm duração finita e natureza discreta, tanto no tempo quanto na amplitude. A esses conjuntos de dados aplicam-se as versões discretas das transformações: a transformada discreta de seno (DST, do inglês Discrete Sine Transform) e a transformada discreta de cosseno (DCT, do inglês Discrete Cosine Transform). Na verdade, podem-se definir 4 tipos diferentes para cada uma delas, de acordo com critérios diversos; essas transformadas são denotadas de duas formas diferentes: DST1, DST2, DST3 e assim por diante, ou então DST-I, DST-II, DST-III e assim por diante, dependendo do autor.

Transformações multidimensionais

Assim como a transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno podem ser estendidas para um maior número de dimensões de forma simples. Transformações bidimensionais encontram aplicação em diversas áreas, como processamento de imagem, por exemplo.

Transformações especiais

O processamento digital, especialmente quando combinado com algum tipo de compressão, pode introduzir artefatos perceptíveis, como na imagem à esquerda (a imagem à direita é o original) na foto ao lado. Transformações especiais, como a transformada discreta modificada de cosseno e a transformada discreta local de seno, foram desenvolvidas de forma a diminuir tais distorções. Essas transformadas se enquadram na categoria de transformadas superpostas (ing. lapped transforms).

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier
• Domínio do tempo
• Domínio da frequência
• Teorema da convolução
• Sistema causal