Transformadas de seno e de cosseno

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As vibrações de uma corda de violino podem ser analisadas de forma mais simples através da transformada de seno do que através da transformada de Fourier.

Em matemática, a transformada de seno (ou transformada de Fourier de seno) e a transformada de cosseno (ou transformada de Fourier de cosseno) de uma função f(x) são as transformadas integrais definidas, respectivamente, pela parte imaginária e pela parte real da transformada de Fourier de f(x)[1] .

Essas transformadas podem ser consideradas casos especiais da transformada de Fourier que aparecem naturalmente quando f(x) é uma função, respectivamente, ímpar ou par.

  • A transformada de cosseno de uma função par concorda[nota 1] com a transformada de Fourier
  • A transformada de seno de uma função ímpar concorda[nota 1] com a transformada de Fourier
  • Mais geralmente, a transformada de cosseno/seno da parte par/ímpar de uma função é igual[nota 1] a 1/i vezes a parte par/ímpar da transformada de Fourier daquela função, se as componentes de frequência negativa forem desconsideradas[nota 2] [2] .

Como os núcleos das transformações não possuem as propriedades notáveis da função exponencial complexa usada pela transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno são menos interessantes matematicamente; por outro lado, certas características as tornam adequadas para aplicação em problemas específicos, especialmente no caso das suas versões discretas[3] .

Definição[editar | editar código-fonte]

Como a transformada de Fourier é definida por[nota 3]


 F(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt.


Expandindo o integrando por meio da fórmula de Euler, obtemos a integral


F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)(\cos\,{\omega t} - i\,\sin{ \,\omega t})\,dt,


que pode ser escrita como a soma de duas integrais


F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{\omega t} \,dt - \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{\omega t}\,dt.


Se f(t) for uma função ímpar, o produto f(t)cosωt será também uma função ímpar, enquanto que o produto f(t)sinωt será uma função par. Uma vez que a integral está sendo calculada em um intervalo simétrico em torno da origem (i.e. -∞ to +∞), a primeira integral deve ser igual a zero, e a segunda pode ser expressa de forma simplificada como


F(\omega)= -i \int\limits_{0}^\infty f(t)\sin\,{\omega t} \,dt,


que é a transformada de seno da função f(t). Obviamente, a função resultante F(ω) será também uma função ímpar.


Raciocínio similar aplicado à transformada inversa de Fourier resulta em uma segunda transformada de seno


f(t)= i \; \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^\infty F(\omega)\sin\,{\omega t} \,d\omega.


Os fatores numéricos nas fórmulas das transformadas de Fourier são convencionais, por isso os multplicadores podem ser omitidos, resultando na forma mais comum das transformadas de seno e sua inversa


\mathcal{S} \{ f(t) \} \;=\; S(\omega) \;=\; \int\limits_{0}^\infty f(t)\sin\,{\omega t} \,dt \;\;\;\;\; (1a)


e


f(t) \;=\; \mathcal{S}^{-1} \{ S(\omega) \} \;=\; \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^\infty S(\omega)\sin\,{\omega t} \,d\omega \;\;\;\;\; (1b)


Se f(t) for uma função par, raciocínio similar resulta em


\mathcal{C} \{ f(t) \} \;=\; C(\omega) \;=\; \int\limits_{0}^\infty f(t)\cos\,{\omega t} \,dt \;\;\;\;\; (1c)


que é a transformada de cosseno de f(t), que é uma função par, e na fórmula da transformada inversa


f(t) \;=\; \mathcal{C}^{-1} \{ C(\omega) \} \;=\; \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^\infty C(\omega)\cos\,{\omega t} \,d\omega \;\;\;\;\; (1d) [4]


Condições de existência[editar | editar código-fonte]

Para que as transformadas existam, é condição suficiente que

  • f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
  • f'(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]

Se essas condições são satisfeitas, então, se F(ω) = F{f(t)} é a transformada de seno ou de cosseno de f(t), e F-1{F(ω)} é a respectiva inversa, então

  • F-1{F(ω)} é igual a f(t) em todo subintervalo de [0,∞] onde f(t) é contínua
  • F-1{F(ω)} é igual à média de f(t-ε) e f(t+ε) em toda descontinuidade de f(t)

Condições suficientes mais fortes são requeridas para algumas das propriedades tratadas abaixo:

  • f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞]
  • f(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]

No que segue, trataremos esses dois conjuntos de condições por condições fracas e condições fortes de existência, respectivamente[5] .


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Escalamento no domínio do tempo[nota 4] [editar | editar código-fonte]

\mathcal{C} \{ f(at) \} \;=\; \frac{1}{a} \cdot C \left( \frac{\omega}{a} \right) \qquad |\; a \;>\; 0 \;\;\;\;\; (2a)


\mathcal{S} \{ f(at) \} \;=\; \frac{1}{a} \cdot S \left( \frac{\omega}{a} \right) \qquad |\; a \;>\; 0 \;\;\;\;\; (2b)[5]

Deslocamento do eixo do tempo[editar | editar código-fonte]

Se a é um número real positivo e fp(t) é uma função par tal que

então f(p(t) é a extensão par de f(t) nesse intervalo, e valem as relações


\mathcal{C} \{ f_p(t \;+\; a) \;+\; f_p(t \;-\; a) \} \;=\; \mathcal{C} \{ f(t \;+\; a) \;+\; f_p(|t \;-\; a|) \} \;=\; 2 \cdot \cos(a \omega) \cdot C(\omega) \;\;\;\;\; (2c)


\mathcal{S} \{ f_p(t \;-\; a) \;-\; f_p(t \;+\; a) \} \;=\; \mathcal{S} \{ f(|t \;-\; a|) \;-\; f_p(t \;+\; a) \} \;=\; 2 \cdot \sin(a \omega) \cdot C(\omega) \;\;\;\;\; (2d)


Se, por outro lado, a é um número real positivo e fi(t) é uma função ímpar tal que

então f(p(t) é a extensão ímpar de f(t) nesse intervalo, e valem as relações


\mathcal{S} \{ f_i(t \;+\; a) \;+\; f_i(t \;-\; a) \} \;=\; 2 \cdot \cos(a \omega) \cdot S(\omega) \;\;\;\;\; (2e)


\mathcal{C} \{ f_i(t \;+\; a) \;+\; f_i(t \;-\; a) \} \;=\; 2 \cdot \sin(a \omega) \cdot C(\omega) \;\;\;\;\; (2f)[5]


Deslocamento do eixo da frequência[editar | editar código-fonte]

\mathcal{C} \{ f(t) \cdot \cos(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} C(\omega \;+\; a) \;+\; C(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2g)


\mathcal{C} \{ f(t) \cdot \sin(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} S(\omega \;+\; a) \;-\; S(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2h)


\mathcal{S} \{ f(t) \cdot \cos(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} S(\omega \;+\; a) \;+\; S(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2i)


\mathcal{S} \{ f(t) \cdot \sin(at) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} C(\omega \;+\; a) \;-\; C(\omega \;-\; a) \right]   \;\;\;\;\; (2j)[5]

Diferenciação no domínio do tempo[editar | editar código-fonte]

Se fn(t), com n em algarismos romanos, denota a derivada de ordem n de f(t), tkp denota uma das m(p) descontinuidades da derivada de ordem p de f(t) (com p < n, evidentemente, e p em algarismos romanos), e hkp denota a amplitude dessas descontinuidades, então valem as relações seguintes:


h_k^p \;=\; f^p(t_k^p \;+\; \epsilon) \;-\; f^p(t_k^p \;-\; \epsilon) \;\;\;\;\; (2k)


\mathcal{C} \{ f^{I}(t) \} \;=\; \omega S(\omega) \;-\; f(0) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m} h_k \cos(\omega t_k)


\mathcal{C} \{ f^{II}(t) \} \;=\; -\omega^2 C(\omega) \;-\; f^I(0) \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \sin(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \cos(\omega t_k)


\mathcal{C} \{ f^{III}(t) \} \;=\; -\omega^3 S(\omega) \;+\; \omega ^2 f(0) \;-\; f^{II}(0) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \cos(\omega t_k) \;+\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \sin(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \cos(\omega t_k)


\mathcal{C} \{ f^{IV}(t) \} \;=\; \omega^4 C(\omega) \;+\; \omega^2 f^I(0) \;-\; f^{III}(0) \;+\; \omega ^3 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \sin(\omega t_k) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \cos(\omega t_k) \;-\; ...


... \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \sin(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(III)} h_k^{III} \cos(\omega t_k)  \;\;\;\;\; (2l)


e assim por diante; para a transformada de seno:


\mathcal{S} \{ f^{I}(t) \} \;=\; \omega C(\omega) \;+\; \sum_{k \;=\; 1}^{m} h_k \sin(\omega t_k)


\mathcal{S} \{ f^{II}(t) \} \;=\; -\omega^2 S(\omega) \;+\; \omega f(0) \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \cos(\omega t_k) \;+\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \sin(\omega t_k)


\mathcal{C} \{ f^{III}(t) \} \;=\; -\omega^3 C(\omega) \;+\; \omega ^2 f(0) \;-\; f^{II}(0) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \sin(\omega t_k) \;-\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \cos(\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \sin(\omega t_k)


\mathcal{C} \{ f^{IV}(t) \} \;=\; \omega^4 S(\omega) \;-\; \omega^3 f(0) \;+\; \omega f^{II}(0) \;-\; \omega ^3 \sum_{k \;=\; 1}^m h_k \omega \cos(\omega t_k) \;+\; \omega ^2 \sum_{k \;=\; 1}^{m(I)} h_k^I \sin(\omega t_k) \;+\; ...


...  \;+\; \omega \sum_{k \;=\; 1}^{m(II)} h_k^{II} \cos (\omega t_k) \;-\; \sum_{k \;=\; 1}^{m(III)} h_k^{III} \sin(\omega t_k) \;\;\;\;\; (2m)


e assim por diante[5] .

Integração no domínio do tempo[editar | editar código-fonte]

\mathcal{C} \left\{ \int_t^{\infty} f(t) \; dt \right\} \;=\; \frac{1}{\omega} S(\omega) \;\;\;\;\; (2n)


\mathcal{S} \left\{ \int_0^{t} f(t) \; dt \right\} \;=\; \frac{1}{\omega} C(\omega) \;\;\;\;\; (2o)


também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas[5] .


Integração no domínio da frequência[editar | editar código-fonte]

\mathcal{S}^{-1} \left\{ \int_{\omega}^{\infty} C(\omega) \; d \omega \right\} \;=\; -\frac{1}{t} f(t) \;\;\;\;\; (2p)


\mathcal{S}^{-1} \left\{ \int_{\omega}^{\infty} S(\omega) \; d \omega \right\} \;=\; \frac{1}{t} f(t) \;\;\;\;\; (2q)


também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas[5] .


Potências de t[editar | editar código-fonte]

\mathcal{C} \{ t^{2n} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^n \; \frac{d^{2n}}{d \omega ^{2n}} \; C(\omega)


\mathcal{C} \{ t^{2n \;+\; 1} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^{n \;+\; 1} \; \frac{d^{2n \;+\; 1}}{d \omega ^{2n \;+\; 1}} \; S(\omega) \quad |\; n \;>\; 0  \;\;\;\;\; (2r)


\mathcal{S} \{ t^{2n} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^n \; \frac{d^{2n}}{d \omega ^{2n}} \; S(\omega)


\mathcal{S} \{ t^{2n \;+\; 1} \cdot f(t) \} \;=\; (-1)^{n \;+\; 1} \; \frac{d^{2n \;+\; 1}}{d \omega ^{2n \;+\; 1}} \; C(\omega) \quad |\; n \;>\; 0  \;\;\;\;\; (2s)


onde \frac{d^p}{d \omega ^p} \; F( \omega) denota a derivada de ordem p de F(ω). As funções a ser transformadas em cada caso devem atender às condições fortes de existência das transformadas[5] .

Lema de Riemann-Lebesgue[editar | editar código-fonte]

A formulação do lema de Riemann-Lebesgue para essas transformadas é a seguinte:


\lim_{\omega \to \infty} C(\omega) \;=\; \lim_{\omega \to \infty} S(\omega) \;=\; 0 \;\;\;\;\; (2t)


Aqui também é necessário que f(t) atenda às condições fortes de existência das transformadas[5] .

Convolução[editar | editar código-fonte]

Se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e fp(t) e gp são uma funções pares tal que

  • f(p(t) = f(|t|) no intervalo [-∞,∞]
  • g(p(t) = g(|t|) no intervalo [-∞,∞]

então f(p(t) e g(p(t) são as extensões pares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação


\mathcal{C} \{ f_p(t) \;*\; g_p(t) \} \;=\; 2 \cdot \mathcal{C} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{C} \{ g(t) \} \;\;\;\;\; (2u)


onde o símbolo * denota a convolução de duas funções.


Além disso, se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e fi(t) e gi são uma funções pares tal que

  • f(i(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-∞,∞], onde sgn(t) é a função sinal
  • g(i(t) = sgn(t)·g(|t|) no intervalo [-∞,∞]

então f(i(t) e g(i(t) são as extensões ímpares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação


\mathcal{C} \{ f_i(t) \;*\; g_i(t) \} \;=\; 2 \cdot \mathcal{S} \{ f(t) \} \cdot \mathcal{S} \{ g(t) \}  \;\;\;\;\; (2v)[5]


Relação com a Transformada de Fourier[editar | editar código-fonte]

A partir das expressões (1a) a (1d), pode-se escrever


\mathcal{F} \{f(t) \cdot u(t) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} C(\omega) \;-\; i S(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3a)


onde u(t) é a função degrau unitário.


C(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{f(t) \;+\; f(-t) \} \;\;\;\;\; (3b)


S(\omega) \;=\; i \cdot \mathcal{F} \{f(t) \;-\; f(-t) \} \;\;\;\;\; (3c)[2]


Tabelas de transformadas de seno e de cosseno[editar | editar código-fonte]

Tabela 1 - Transformadas de seno de algumas funções f(t)[6]
f(t) S(\omega)
rect \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right) \frac{1}{\omega} \left[ 1 \;-\; \cos (a \omega) \right]
tri \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right) \frac{1}{a \omega^2} \left[ \frac{}{} 2 \sin (a \omega) \;-\; \sin (2 a \omega) \right]
\frac{1}{t} \cdot u(t \;-\; a) -Ci(a \omega)
\frac{1}{\sqrt{t}} \sqrt{\frac{\pi}{2 \omega}}
\frac{1}{z \;+\; t} \sin(a \omega) \cdot Ci(a \omega) \;-\; \cos(a \omega) \cdot si(a \omega)
\frac{1}{a^2 \;+\; t^2} \frac{1}{2a} \left[ e^{-a \omega} \cdot \bar{Ei}(a \omega) \;-\; e^{a \omega} \cdot Ei(-a \omega) \right]
\frac{1}{a^2 \;-\; t^2} \frac{1}{a} \left[ \sin(a \omega) \cdot Ci(a \omega) \;-\; \cos(a \omega) \cdot Si(a \omega) \right]
\frac{b}{b^2 \;+\; (a \;-\; t)^2} \pi \sin(a \omega) \cdot e^{-b \omega}
\frac{a \;+\; t}{b^2 \;+\; (a \;+\; t)^2} \;-\; \frac{a \;-\; t}{b^2 \;+\; (a \;-\; t)^2} \pi \sin(a \omega) \cdot e^{-b \omega}
e^{-bt} \frac{\omega}{b^2 \;+\; \omega ^2}
\ln \left( \frac{t \;+\; a}{t \;-\; a} \right) \frac{\pi}{\omega} \sin(a \omega)
\frac{\sin (at)}{t} \frac{1}{2} \; \ln \left( \frac{\omega \;+\; a}{\omega \;-\; a} \right)
\frac{e^{-dt} \cdot \sin (ct)}{t} \frac{1}{4} \ln \left( \frac{b^2 \;+\; (\omega \;+\; a)^2}{b^2 \;+\; (\omega \;-\; a)^2} \right)
e^{-dt} \cdot \cos (ct) \frac{1}{2} \left[ \frac{\omega \;-\; a}{b^2 \;+\; (\omega \;-\; a)^2} \;+\; \frac{\omega \;+\; a}{b^2 \;+\; (\omega \;+\; a)^2} \right]
si (at) -\frac{\pi}{2 \omega} \qquad |\; \omega \;>\; a
Ei (-at) - \frac{1}{2 \omega} \ln \left(\frac{\omega^2}{a^2} \;+\; 1 \right)
Tabela 2 - Transformadas de cosseno de algumas funções f(t)[7]
f(t) C(\omega)
rect \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right) \frac{1}{\omega} \sin (a \omega)
tri \left( \frac{t}{a} \;-\; 1 \right) \frac{1}{a \omega^2} \left[ \frac{}{} 2 \cos (a \omega) \;-\; \cos (2 a \omega) \right]
\frac{1}{t} \cdot u(t \;-\; a) -si(a \omega)
\frac{1}{\sqrt{t}} \sqrt{\frac{\pi}{2 \omega}}
\frac{1}{z \;+\; t} - \cos(a \omega) \cdot Ci(a \omega) \;-\; \sin(a \omega) \cdot si(a \omega)
\frac{1}{b^2 \;+\; t^2} \frac{\pi}{2b} \; e^{- b \omega}
\frac{1}{a^2 \;-\; t^2} \frac{\pi}{2a} \sin(a \omega)
\frac{d}{d^2 \;+\; (c \;-\; t)^2} \;+\; \frac{d}{d^2 \;+\; (c \;+\; t)^2} \pi \cos(c \omega) \cdot e^{-d \omega}
\frac{c \;-\; t}{d^2 \;+\; (c \;-\; t)^2} \;+\; \frac{c \;+\; t}{d^2 \;+\; (c \;+\; t)^2} \pi \sin(c \omega) \cdot e^{-d \omega}
e^{-bt} \frac{b}{b^2 \;+\; \omega ^2}
e^{-bt^2} \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\pi}{b} } \; e^{\frac{\omega^2}{4b}}
\frac{1}{t} \; \left( e^{-bt} \;-\; e^{-ht} \right) \frac{1}{2} \ln \left( \frac{h^2 \;+\; \omega ^2}{b^2 \;+\; \omega ^2} \right)
sinc (t) \frac{\pi}{2a} u(a - \omega)
e^{-bt} \cdot \sin (at) \frac{1}{2} \left[ {a \;+\; \omega}{b^2 \;+\; (a \;+\; \omega)^2} \;+\; \frac{a \;-\; \omega}{b^2 \;-\; (a \;-\; \omega)^2} \right]
e^{-dt} \cdot \sin (ct) \frac{d}{2} \left[ \frac{1}{b^2 \;+\; (a \;+\; \omega)^2} \;+\; \frac{1}{b^2 \;-\; (a \;-\; \omega)^2} \right]
si (at) - \frac{1}{2 \omega} \ln \left( \frac{\omega \;+\; a}{\omega \;-\; a} \right)
Ci (at) - \frac{\pi}{2 \omega} \qquad |\; \omega \;>\; a
Ei (-at) - \frac{1}{\omega} \arctan \left(\frac{\omega}{a} \right)
onde:


Exemplos de aplicação[editar | editar código-fonte]

Análise de vibrações sob condições específicas[editar | editar código-fonte]

Uma corda de violino, afastada da posição de repouso em um ponto qualquer diferente do centro, experimentará vibrações após liberada. Chamemos y(x,t) à distância da corda em relação à posição de repouso em um dado ponto x qualquer e em um instante dado t. Sempre se pode escolher um sistema de coordenadas em que o comprimento da mesma é unitário; da mesma forma, a amplitude do deslocamento inicial produzido pode ser feita unitária. Seja x = b a posição em que foi inserida a perturbação. A corda estará sujeita à condição de contorno y(0,t) = y(1,t) = 0 para todo t, e podemos escrever


y(x,0) \;=\; \left\{ \begin{matrix} 0 & : & x \;<\; 0 \\ \frac{x}{b} & : & 0 \;<\; x \;<\; b \\ \\ \frac{1 \;-\; x}{1 \;-\; b} & : & b \;<\; x \;<\; 1 \\ \\ 0 & : & x \;>\; 1 \end{matrix} \right.


A transformada de seno de y(x,t) é, de acordo com a definição (1a)


\mathcal{F} \{ y(x,0) \} \;=\; Y(\omega) \;=\; \int_{0}^{\infty} y(x,0) \cdot \sin (\omega x) \; dx


Y(\omega) \;=\; \int_{0}^{b} \frac{x}{b} \cdot \sin (\omega x) \; dx \;+\; \int_{b}^{1} \frac{1 \;-\; x}{1 \;-\; b} \cdot \sin (\omega x) \; dx \;=\; \frac{1}{b} \left. \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega^2} \;-\; \frac{x \cos(\omega x)}{\omega} \right] \right|_0^b \;+\; \left. \frac{x}{1 \;-\; b} \right|_b^1 \;-\; \frac{1}{1 \;-\; b} \left. \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega^2} \;-\; \frac{x \cos(\omega x)}{\omega} \right] \right|_b^1


Y(\omega) \;=\; \frac{1}{b} \left[ \frac{\sin(\omega b)}{\omega^2} \;-\; \frac{b \cos(\omega b)}{\omega} \right] \;+\; \frac{1 \;-\; b}{1 \;-\; b} \;-\; \frac{1}{1 \;-\; b} \left[ \frac{\sin(\omega)}{\omega^2} \;-\; \frac{\cos(\omega)}{\omega} \;-\; \frac{\sin(\omega b)}{\omega^2} \;+\; \frac{b \cos(\omega b)}{\omega} \right]


Y(\omega) \;=\; 1 \;+\; \left( \frac{1}{b \omega^2(1 \;-\; b)} \right) \cdot \left( \frac{}{} (1 \;-\ b) \left[ \sin(\omega b) \;-\; \omega b \cos(\omega b) \right] \;-\; \left[ b \sin(\omega) \;-\; \omega b \cos(\omega) \;-\; b \sin(\omega b) \;+\; \omega b^2 \cos(\omega b) \right] \right)


Y(\omega) \;=\; 1 \;+\; \left( \frac{1}{b \omega^2(1 \;-\; b)} \right) \cdot \left( \frac{}{} \sin(\omega b) \;-\; \omega b \cos(\omega b) \;-\; b \sin(\omega) \;+\; \omega b \cos(\omega) \right)


que só envolve coeficientes reais e é mais simples que a transformada de Fourier de y(x,0).

Neste exemplo as condições de contorno levaram à escolha natural da transformada de seno. Um exemplo em que a transformada de cosseno seria a escolha natural é a análise de ondas estacionárias em um canal fechado em ambas as extremidades[8] .

Solução de equação diferencial parcial sob condições específicas[editar | editar código-fonte]

Seja a equação diferencial parcial


\frac{\partial}{\partial t} \; u(x,t) \;+\; \frac{\partial ^2}{\partial x} \; u(x,t) \;=\; h(x,t)


onde u é a função de duas variáveis, x e t, que se deseja encontrar, e as condições de contorno são u(x,0) = f(x) e u(0,t) = g(t), sendo dadas as funções h(x,t), f(x) e g(t). Aplicando-se a transformação de seno em relação à variável x, e em vista das propriedades (2m), teremos


\frac{\partial}{\partial t} \; U(\omega,t) \;+\; \omega^2 U(\omega,t) \;-\; \omega \cdot g(t) \;=\; H(\omega,t)[nota 6]


onde U(ω,t) e H(ω,t) são as transformadas de seno de u(x,t) e h(x,t), respectivamente. Resolvendo-se a equação para U(ω,t)


U(\omega,t) \cdot e^{\omega^2 t} \;=\; \int_0^t \left[ \omega \cdot g(\tau) \;+\; H(\omega,\tau) \right] e^{\omega^2 \tau} \; d \tau \;+\; C_1


onde C1 é uma constante de integração. Fazendo-se t = 0 nesta última equação, teremos U(\omega,0) \;=\; C_1 \;=\; F(\omega), onde F(ω) é a transformada de seno de f(x). Assim,


U(\omega,t) \;=\; e^{-\omega^2 t} \left( \int_0^t \left[ \omega \cdot g(\tau) \;+\; H(\omega,\tau) \right] e^{\omega^2 \tau} \; d \tau \;+\; F(\omega) \right)


e u(x,t) é obtida a partir da aplicação da transformada inversa de seno a esta última equação[9] .

Solução de equação diferencial ordinária sob condições específicas[editar | editar código-fonte]

Seja a equação diferencial de segunda ordem


x''(t) \;+\; \lambda x(t) \;=\; f(t)


onde λ é uma constante, com condições de contorno x'(0) = 0 e x(∞) = 0, e sendo dada a função f(t)


f(t) \;=\; \left\{ \begin{matrix} 0 & : & t \;\le\; 0 \\ A & : & 0 \;<\; t \;<\; b \\ 0 & : & t \;\ge\; b \end{matrix} \right. \;=\; A \left[ \frac{}{} 1 \;-\; u(t-b) \right]


onde u(x) é a função degrau unitário. Aplicando-se a transformação de cosseno às equações, e em vista das propriedades (2l), teremos


- \omega^2 X(\omega) \;-\; \lambda ^2 X(\omega) \;=\; \frac{A}{\omega} \sin (\omega b)


onde X(ω) é a transformada de cosseno de x(t). Resolvendo-se para X(ω), tem-se


X(\omega) \;=\; \frac{A}{\lambda ^2} \left[ \frac{\omega \sin (\omega b)}{\omega^2 \;+\; \lambda ^ 2}\;-\; \frac{\sin (\omega b)}{\omega} \right]


A aplicação da transformada inversa fornece a resposta


X(\omega) \;=\; \left\{ \begin{matrix} \frac{A}{\lambda^2} \left[ e^{-\lambda b} \cosh(\lambda t) \;-\; 1 \right] & : & t \;<\; b \\ \\ - \frac{A}{\lambda^2} e^{-\lambda t} \sinh(\lambda b) & : &  t \;>\; b \end{matrix} \right.


As condições de contorno favoreceram o uso da transformada de cosseno; confrontar essas condições com as dos exemplos anteriores, que favoreceram o uso da transformada de seno. A solução por meio daquela transformação evitou o emprego de números complexos, que seriam usados se fosse escolhida em seu lugar a transformada de Fourier[9] .


Transformações relacionadas[editar | editar código-fonte]

As transformadas discretas de seno e de cosseno[editar | editar código-fonte]

Em aplicações práticas, as transformadas são aplicadas não a funções contínuas do tempo, e sim a amostras de tais funções. Os dados obtidos têm duração finita e natureza discreta, tanto no tempo quanto na amplitude. A esses conjuntos de dados aplicam-se as versões discretas das transformações: a transformada discreta de seno (DST, do inglês Discrete Sine Transform) e a transformada discreta de cosseno (DCT, do inglês Discrete Cosine Transform). Na verdade, podem-se definir 4 tipos diferentes para cada uma delas, de acordo com critérios diversos; essas transformadas são denotadas de duas formas diferentes: DST1, DST2, DST3 e assim por diante, ou então DST-I, DST-II, DST-III e assim por diante, dependendo do autor[10] [11] .

Transformações multidimensionais[editar | editar código-fonte]

Assim como a transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno podem ser estendidas para um maior número de dimensões de forma simples. Transformações bidimensionais encontram aplicação em diversas áreas, como processamento de imagem, por exemplo.


Transformações especiais[editar | editar código-fonte]

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O processamento digital, especialmente quando combinado com algum tipo de compressão, pode introduzir artefatos perceptíveis, como na imagem à esquerda (a imagem à direita é o original) na foto ao lado. Transformações especiais, como a transformada discreta modificada de cosseno e a transformada discreta local de seno, foram desenvolvidas de forma a diminuir tais distorções. Essas transformadas se enquadram na categoria de transformadas superpostas (ing. lapped transforms)[12] .

Ver também[editar | editar código-fonte]


Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b c Multiplicadores fixos convencionais podem aparecer, dependendo do autor.
  2. As funções que aparecem em aplicações de Física e Engenharia em geral não possuem componentes de frequência negativa. Para mais detalhes, consultar o verbete sistema causal.
  3. As convenções para definição da transformada de Fourier variam de autor para autor, com relação à grandeza da variável (frequência angular ou linear) e fatores multiplicadores. Aqui foi adotada a mesma convenção empregada no verbete principal Transformada de Fourier.
  4. Como as transformadas de seno e de cosseno são lineares, as expressões \mathcal{S} \{ a \cdot f(t) \} \;=\; a \cdot S(\omega) \text{ e } \mathcal{C} \{ a \cdot f(t) \} \;=\; a \cdot C(\omega) são triviais.
  5. Pela expressão \bar{Ei}(x) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} Ei(x \;+\; i0) \;+\; Ei(x \;-\; i0) \right].
  6. Considerou-se que as funções são todas contínuas e obedecem às condições fortes de existência das transformadas.


Referências

  1. Fourier Sine Transform. site MathWorld. Página visitada em 11 de junho de 2010.
  2. a b R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1, Cap. 2, pp. 16 a 17
  3. P. Yip - Sine and Cosine Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 274 a 275
  4. Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 2nd Ed, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
  5. a b c d e f g h i j P. Yip - op. cit., pp. 276 a 281, 294 a 297
  6. P. Yip - op. cit., pp. 297 a 304
  7. P. Yip - op. cit., pp. 281 a 290
  8. R. Bracewell - op. cit., Cap. 12, pp. 319 a 320
  9. a b P. Yip - op. cit., pp. 313 a 320
  10. P. Yip - op. cit., pag. 305
  11. Z. Hafed e M. Levine - Face Recognition Using the Discrete Cosine Transform in International Journal of Computer Vision, 43(3), 2001, pp. 167 a 188
  12. P. Yip - op. cit., pp. 320 a 324