Aritmética modular

Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem um certo valor, o módulo.

O matemático suíço Euler foi o pioneiro na abordagem de congruência por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congruência módulo um número natural N.

A aritmética modular foi desenvolvida posteriormente por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801.

O relógio usa aritmética módulo 12.

Um uso familiar da aritmética modular é no relógio de ponteiro, no qual o dia é divido em dois períodos de 12 horas cada. Se a hora é 7 horas agora, então daqui a 8 horas serão 3 horas. A adição usual sugere que o tempo futuro deveria ser 7 + 8 = 15, mas esta é a resposta errada por que o relógio "volta para trás" a cada 12 horas; não existe "15 horas" no relógio de ponteiro. Da mesma forma, se o relógio começa em 12:00(meio dia) e 21 horas passam, então a hora será 9:00 do dia seguinte, em vez de 33:00. Como o número de horas começa de novo depois que atinge 12, esta aritmética é chamada aritmética módulo 12. 12 é congruente não só a 12 mesmo, mas também a 0, assim a hora chamada "12:00" pode também ser chamada "0:00", pois 0 ≡ 12 mod 12.

Relação de congruência

Aritmética modular pode ser tratada matematicamente introduzindo uma relação de congruência no conjunto dos inteiros que é compatível com as operações do anel dos inteiros: adição, subtração e multiplicação. Para um inteiro positivo n, dois inteiros a e b são ditos congruentes (ou côngruos) módulo n, e escrevemos

$a\equiv b{\pmod {n}},$

quando a diferença deles $a-b$. é um inteiro múltiplo de n. O número n é chamado o módulo da congruência.

Por exemplo,

$38\equiv 2{\pmod {12}}$

pois 38 − 2 = 36, que é múltiplo de 12.

A mesma regra vale para valores negativos:

$-8\equiv 7{\pmod {5}}.$

$2\equiv -3{\pmod {5}}.$

$-3\equiv -8{\pmod {5}}.$

Se $a$ e $b$ são ou os dois positivos ou os dois negativos, então $a\equiv b{\pmod {n}}$ pode ser visto como a afirmação de que $a/n$ e $b/n$ tem o mesmo resto. Por exemplo

$38\equiv 14{\pmod {12}}$

porque ambos $38/12$ e $14/12$ tem o mesmo resto 2. Observe que também se tem $38-14=24$ um inteiro múltiplo de 12, concordando com a definição inicial de relação de congruência.

Uma observação sobre a notação: como é comum considerar várias relações de congruência com diferentes módulos ao mesmo tempo, o módulo é incorporado na notação. Mesmo a notação sendo ternária, a relação de congruência para um módulo fixado é uma relação binária. Isto deve estar claro se a notação a ≡_n b for usada, em vez da notação tradicional.

As propriedades que fazem desta relação uma relação de congruência (com respeito à adição, subtração e multiplicação) são as seguintes.

Se

$a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$

e

$a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}},$

então:

• $a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}$
• $a_{1}-a_{2}\equiv b_{1}-b_{2}{\pmod {n}}$

Deve notar-se que as propriedades acima continuam válidas se expandirmos a teoria para incluir todos os números reais, mas a propriedade seguinte não vale necessariamente nesse contexto ampliado

• $a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}.$

Não se faz divisão em congruências; ao invés disso, faz-se uma multiplicação em ambos os membros por um número conveniente.

Pelo fato de todo número ter resto $0$ na divisão por $1$ não é interessante usarmos o módulo $1$, pois para quaisquer $a$ e $b$ inteiros sempre teremos $a\equiv b\equiv 0\mod {1}$.

Anel de classes de congruência

Como qualquer relação de congruência, congruência módulo n é uma relação de equivalência, e as classes de equivalência do inteiro a, denotada por ${\overline {a}}_{n}$, é o conjunto $\left\{\ldots ,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots \right\}$. Este conjunto, consistindo dos inteiros congruentes a a modulo n, é chamado a classe de congruência ou classe de resíduos ou simplesmente resíduo do inteiro a, modulo n. Quando o módulo n é conhecido pelo contexto, este resíduo também pode ser denotado por $\displaystyle [a]$.

O conjunto de todas as classes de congruência módulo n é denotado $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ou $\mathbb {Z} /n$ (a notação alternativa $\mathbb {Z} _{n}$ não é recomendada por causa da possível confusão com o conjunto dos inteiros p-ádicos). E é definida por: $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{n}|a\in \mathbb {Z} \right\}.$

Quando $n\neq 0$, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ tem n elementos, e pode ser escrita como:

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}}_{n},{\overline {1}}_{n},{\overline {2}}_{n},\ldots ,{\overline {n-1}}_{n}\right\}.$

Quando n = 0, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ não tem elementos não nulos; daí é isomorfo a $\mathbb {Z}$, pois ${\overline {a}}_{0}=\left\{a\right\}$.

Podemos definir adição, subtração e multiplicação em $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ pelas seguintes regras:

• ${\overline {a}}_{n}+{\overline {b}}_{n}={\overline {(a+b)}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}-{\overline {b}}_{n}={\overline {(a-b)}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}{\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}.$

A verificação que esta é uma definição adequada usa as propriedades mencionadas antes.

Desta forma, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ se torna um anel comutativo. Por exemplo, no anel $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$, temos

${\overline {12}}_{24}+{\overline {21}}_{24}={\overline {9}}_{24}$

como na aritmética do relógio de ponteiro.

A notação $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ é usada, por que ele é anel quociente de $\mathbb {Z}$ pelo ideal $n\mathbb {Z}$ consistindo de todos os inteiros divisíveis por n, onde $0\mathbb {Z}$ é o conjunto unitário $\left\{0\right\}$. Assim $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ é um corpo quando $n\mathbb {Z}$ é um ideal máximal, ou seja, quando $n$ é primo.

Em termos de grupos, a classe de resíduos ${\overline {a}}_{n}$ é a classe lateral de a no grupo quociente $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, um grupo cíclico.

O conjunto $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ tem várias propriedades matemáticas importantes que são o fundamento de vários ramos da matemática.

Em vez de excluir o caso n=0, é mais útil incluir $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$ (que, como mencionado antes, é isomorfo ao anel $\mathbb {Z}$ dos inteiros), por exemplo quando discutindo característica de um anel.

Restos

A noção de aritmética modular está relacionada com a de resto da divisão. A operação de achar o resto é algumas vezes chamada de operação módulo, nesse contexto escrevemos, por exemplo, 2 = 14 (mod 12). A diferença está no uso da congruência, indicado por "≡", e da igualdade indicado por "=". Igualdade implica especificamente o "resíduo comum", o menor inteiro não negativo membro de uma classe de equivalência. Quando estamos trabalhando com aritmética modular, cada classe de equivalência é geralmente representada pelo seu resíduo comum, por exemplo 38 ≡ 2 (mod 12), que pode ser encontrado usando divisão longa. Segue disso que enquanto é correto dizer 38 ≡ 14 (mod 12) e 2 ≡ 14 (mod 12), é incorreto dizer 38 = 14 (mod 12) (com "=" no lugar de "≡").

A diferença é mais clara quando estamos dividindo um número negativo, porque neste caso os restos são negativos. Assim para expressar o resto devemos escrever −5 ≡ −17 (mod 12), em vez de 7 = −17 (mod 12), pois equivalência só pode ser considerada para resíduos com o mesmo sinal.

Em ciência da computação, o operador resto é normalmente indicado por "%" (p.ex. em C, Java, Javascript, Perl e Python) ou "mod" (p.ex. in Pascal, BASIC, SQL, Haskell), com exceções (p.ex. em Excel). Estes operadores são normalmente pronunciados como "mod", mas o que é efetivamente computado é um resto (pois em C++ são retornados números negativos se o primeiro argumento é negativo e em Python um número negativo é retornado se o segundo argumento é negativo). A função modulo em vez de mod, como em 38 ≡ 14 (modulo 12), é algumas vezes usada para indicar um resíduo comum em vez do resto (p.ex. em Ruby).

Os parenteses às vezes não são escritos na expressão, por exemplo 38 ≡ 14 mod 12 ou 2 = 14 mod 12, ou são colocados em volta do divisor, por exemplo 38 ≡ 14 mod (12). Notações como 38 (mod 12) também existem, mas são ambíguas sem um contexto.

Representação funcional da operação resto

A operação resto pode ser representada usando a função piso. Se b = a (mod n), onde n > 0, então se o resto é b ele é dado por

$b=a-\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor \times n,$

onde $\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor$ é o maior inteiro menor ou igual a ${\frac {a}{n}}$, então

${\begin{array}{lcl}a\equiv b{\pmod {n}}{\text{ e,}}\\0\leq b<n.\end{array}}$

Se em vez do resto b o intervalo −n ≤ b < 0 é requirido, então

$b=a-\left\lfloor {\frac {a}{n}}\right\rfloor \times n-n.$

Sistema de resíduos

Cada classe de resíduo modulo n pode ser representada por um de seus membros, embora nós geralmente representemos cada classe residual pelo menor inteiro não negativo pertencente à classe (pois este é o próprio resto que resulta da divisão). Note que quaisquer dois membros de diferentes classes residuais módulo n são congruentes módulo n. Além disso cada inteiro pertence a uma e somente uma classe residual módulo n.

O conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., n - 1} é chamado o menor sistema de resíduos módulo n. Qualquer outro conjunto de n inteiros, com nenhum par deles congruente módulo n é chamado um sistema completo de resíduos módulo n.

É claro que o menor sistema de resíduos é uma sistema completo de resíduos e que um sistema completo de resíduos é simplesmente um conjunto contendo precisamente um representante de cada classe de resíduo módulo n. O menor sistema de resíduos módulo 4 é {0, 1, 2, 3}. Alguns outros sistemas de resíduos módulo 4 são:

• {1,2,3,4}
• {13,14,15,16}
• {-2,-1,0,1}
• {-13,4,17,18}
• {-5,0,6,21}
• {27,32,37,42}

Alguns conjuntos que não são um sistema completo de resíduos módulo 4 são:

• {-5,0,6,22} pois 6 é congruente a 22 módulo 4.
• {5,15} pois um sistema completo de resíduos deve ter exatamente 4 elementos.

Sistemas reduzidos de resíduos

Qualquer conjunto com φ(n) inteiros que são primos com n e que são incongruentes entre si módulo n, onde φ(n) denota a Função totiente de Euler, é chamado um sistema reduzido de resíduos módulo n.