Paridade do zero

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Balança vazia
Os pratos da balança contêm zero objetos, divididos em dois grupos iguais.

A expressão paridade do zero refere-se ao fato do número zero ser considerado um número par. Em outras palavras, sua paridade — a qualidade de um número inteiro ser par ou ímpar — é par. A maneira mais simples de provar que zero é par é checar se ele se encaixa na definição de número par: é um número inteiro, múltiplo de 2, especificamente . Como resultado disso, zero compartilha todas as propriedades que caracterizam os números pares: 0 é divisível por 2, é avizinhado de ambos os lados por números ímpares, é obtido através da soma de um inteiro com ele mesmo () e um conjunto com 0 objetos pode ser separado em dois conjuntos de mesmo tamanho.

Zero também se encaixa nos padrões formados por outros números pares. As regras aritméticas de paridade, tais como , requerem que 0 seja par. Zero é o elemento neutro do grupo de inteiros pares, e é o caso inicial onde números naturais são recursivamente definidos. Aplicações dessa recursão, da teoria dos grafos até a geometria computacional, repousam no fato de zero ser par. Não somente 0 é divisível por 2, como também é divisível por toda potência de 2, o que é extremamente relevante para o sistema de numeração binário usado por computadores. Nesse sentido, 0 é o número "mais par" de todos.[1]

Entre o público geral, a paridade do zero pode ser uma fonte de confusão. Em experimentos de tempo de reação, muitas pessoas são mais lentas em identificar 0 como par do que identificar a paridade de 2, 4, 6 ou 8, por exemplo. Alguns estudantes de matemática — e alguns professores — pensam que zero é ímpar, ou ambos (par e ímpar), ou nenhum dos dois. Pesquisadores em educação matemática dizem que esses equívocos podem se tornar oportunidades de aprendizado. Estudar igualdades como pode endereçar as dúvidas dos estudantes sobre dizer se 0 é um número e usá-lo na aritmética. Discussões de classe podem levar estudantes a avaliar os princípios básicos do raciocínio matemático, tais como a importância das definições. Analisando a paridade desse número excepcional é um exemplo precoce de um tema que permeia a matemática: a abstração de um conceito familiar para uma configuração desconhecida mais complexa.

Por que zero é par?[editar | editar código-fonte]

A definição mais difundida de "número par" pode ser usada para provar diretamente que zero é um número par: Um número é chamado "par" se é um inteiro múltiplo de 2. Como um exemplo, o motivo de 10 ser par é que ele é obtido através da multiplicação entre 2 e 5. Da mesma forma, zero é um inteiro múltiplo de 2 (), portanto é par.[2]

Também é possível explicar porque zero é par sem se referir a definições formais.[3] As seguintes explicações fazem uso da ideia de que zero é par através de conceitos fundamentais sobre números. A partir desse fundamento, pode-se prover argumentos racionais para a própria definição — e aplicá-la ao zero.

Explicações básicas[editar | editar código-fonte]

Na esquerda, caixas com 0, 2 e 4 objetos brancos em pares; na direita, 1, 3 e 5 objetos, com objetos não pareados em vermelho.
A caixa com 0 objetos não tem nenhum objeto vermelho sobrando.[4]

Zero é um número, e números são usados para contagem. Dado um conjunto de objetos, usa-se um número para descrever quantos objetos estão no conjunto. Zero é a representa a conta de nenhum objeto no conjunto; em termos mais formais, é o número de objetos no conjunto vazio. O conceito de paridade é usado para fazer grupos de dois objetos. Se os objetos em um conjunto podem ser agrupados em duplas, com nenhum objeto sobrando, então o número de objetos é par. Se um objeto é deixado sem par, então o número de objetos no conjunto é ímpar. O conjunto vazio tem zero duplas e nenhum objeto é deixado sem par, portanto zero é par.[5]

Estas ideias podem ser ilustradas ao desenhar-se objetos em duplas. É difícil retratar zeros duplas, ou enfatizar a não existência de um objeto sobrando, então desenhar outros grupos e compará-los com o conjunto com zero duplas ajuda a compreender melhor a ideia. Por exemplo, no grupo de 5 objetos, existem duas duplas e mais importante, existe um objeto sobrando, então 5 é ímpar. No grupo de 4 objetos, por outro lado, não há nenhum objeto sobrando, portanto 4 é par. No grupo de apenas um objeto, não existe nenhuma dupla, e existe um objeto sobrando, portanto 1 é ímpar. No grupo de zero objetos, não há nenhum objeto sobrando, portanto 0 é par.[6]

Existe outra definição concreta da paridade: Se os objetos num conjunto podem ser colocados em dois grupos de mesmo tamanho, então o número de objetos é par. A definição é equivalente a primeira. De novo, zero é par, pois o conjunto vazio pode ser dividido em dois grupos de zero itens cada.[7]

Números também podem ser visualizados como pontos em uma reta numérica. Quando números pares e ímpares são distinguidos um do outro, o padrão se torna óbvio, especialmente se números negativos são incluídos:

Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots

Os números pares e ímpares se alternam. Começando de qualquer número par, contando dois para cima ou dois para baixo, alcança-se outro número par e não há razão para pular o zero.[8]

Com a introdução da multiplicação, a paridade pode ser aproximada de uma maneira mais formal usando expressões aritméticas. Todo inteiro é ou da forma ou da forma ; o primeiro designando os números pares e o segundo os ímpares. Por exemplo, 1 é ímpar pois , e 0 é par pois . Fazer uma tabela desses fatos reforça a reta numérica acima.[9]

Definindo paridade[editar | editar código-fonte]

A definição exata de um termo matemático, tal como "par" significando "inteiro múltiplo de dois", é em última análise uma convenção. Ao contrário de "par", alguns termos matemáticos são propositalmente construídos para excluir casos triviais ou degenerados. Números primos são um famoso exemplo. Antes do século XX, definições de primalidade eram inconsistentes, e matemáticos importantes como Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley, e Kronecker chegaram a escrever que 1 era primo.[10] A definição moderna de "número primo" é "inteiro positivo com exatamente 2 divisores", então 1 não é primo. Esta definição pode ser racionalizada ao observar-se que é mais naturalmente adequada aos teoremas que dizem respeito aos números primos. Por exemplo, o teorema fundamental da aritmética estabelece mais facilmente quando 1 não é considerado primo.[11]

Seria possível similarmente redefinir o termo "par" de forma que não mais inclua o zero. Entretanto, neste caso, a nova definição tornaria mais difícil estabelecer teoremas que dizem respeito aos números pares. O efeito pode ser visto em regras algébricas que regem os números pares e ímpares.[12] As regras mais relevantes dizem respeito a adição, subtração e multiplicação:

  • par par = par
  • ímpar ímpar = par
  • par × inteiro = par

Inserindo valores apropriados no lado esquerdo dessas regras, pode-se produzir 0 no lado direito:

As regras acima se tornariam incorretas caso zero não fosse par.[12] Na melhor das hipóteses, elas teriam que ser modificadas. Por exemplo, um guia de estudo de teste afirma que números pares são caracterizados como inteiros múltiplos de dois, mas zero não é "nem par, nem ímpar".[13] Consequentemente, essas regras contém exceções:[13]

  • par ± par = par (ou zero)
  • ímpar ± ímpar ± = par (ou zero)
  • par × inteiro não nulo = par

Fazendo uma exceção para zero na definição de paridade força a colocação de exceções como as mostradas acima nessas regras para números pares. De outra perspectiva, tomando as regras obedecidas por números pares positivos e requerendo que elas continuem a valer para inteiros força a definição usual e a paridade de zero.[12]

Contextos matemáticos[editar | editar código-fonte]

Incontáveis resultados em teoria dos números invocam o teorema fundamental da aritmética e as propriedades algébricas de números pares, portanto, as escolhas acima têm consequências de longo alcance. Por exemplo, o fato de que números positivos têm fatoração única significa que alguém pode determinar se um número tem um número par ou ímpar de fatores primos distintos. Uma vez que 1 não é primo, não tem fatores primos, isto é, é um produto de 0 fatores primos; Uma vez que 0 é um número par, 1 tem um número par de fatores primos distintos. Isto implica que a função de Möbius toma o valor , o que é necessário para ser uma função multiplicativa e para a fórmula de inversão de Möbius funcionar.[14]

Não sendo ímpar[editar | editar código-fonte]

Um número inteiro é ímpar se existe um número inteiro tal que . Uma maneira de provar que zero não é ímpar é por contradição: Se , então , logo é uma contradição, pois assumimos que era inteiro.[15] Uma vez que zero não é ímpar, se um número desconhecido é provado ser ímpar, então ele não pode ser zero. Esta observação aparentemente trivial pode fornecer uma prova reveladora e conveniente explicando porque um número é não nulo.

Um resultado clássico da teoria dos grafos diz que um grafo de ordem ímpar (tendo um número ímpar de vértices) sempre tem ao menos um vértice de grau par. A declaração por si só requer que zero seja par: o grafo nulo tem ordem par e um vértice isolado tem grau par.[16] Em ordem de provar a declaração, é na verdade mais fácil provar um resultado mais forte: qualquer grafo de ordem ímpar tem um número ímpar de vértices de grau par. A aparição deste número ímpar é explicada por um resultado ainda mais geral, conhecido como o lema do aperto de mão: Qualquer grafo tem um número par de vértices de grau ímpar.[17] Finalmente, o número par de vértices ímpares é naturalmente explicado pela fórmula de soma dos graus.

O lema de Sperner é uma aplicação mais avançada da mesma estratégia. O lema declara que um certo tipo de coloração em uma triangulação de um simplex tem um subsimplex que contém todas as cores. Em vez de diretamente construir tal subsimplex, é mais conveniente provar que existe um número ímpar de tais subsimplexes através de um argumento indutivo.[18] Uma declaração mais forte do lema então explica porque este número é ímpar: Ele naturalmente resulta em (n+1)+n quando se considera as duas possíveis orientações do simplex.[19]

Alternação par-ímpar[editar | editar código-fonte]

0->1->2->3->4->5->6->... em cores alternadas
Definição recursiva da paridade de números naturais.

O fato de zero ser par, junto com o fato de números pares e ímpares alternarem-se é suficiente para determinar a paridade de todos os outros números naturais. Esta ideia pode ser formalizada em uma definição recursiva do conjunto de números naturais:

  • 0 é par;
  • é par se e somente se não é par.

Esta definição tem a vantagem conceitual de depender somente dos fundamentos mínimos dos números naturais: a existência de 0 e dos sucessores. Como tal, é útil para sistemas de lógica de computador como estrutura lógica e o provador de teoremas Isabelle.[20] Com essa definição, a paridade de zero não é um teorema, mas um axioma. De fato, "zero é um número par" pode ser interpretado como um dos axiomas de Peano, dos quais os números naturais pares são um exemplo.[21] Uma construção similar estende a definição de paridade para números ordinais transfinitos: todos ordinal limite é par, incluindo o zero; e os sucessores de ordinais pares são ímpares.[22]

Polígono não convexo penetrado por uma seta, legendado 0 do lado de fora, 1 do lado de dentro, 2 do lado de fora, etc.
Ponto em um teste de polígono

O clássico teste ponto em polígono da geometria computacional aplica as ideias acima. Para determinar se um ponto repousa dentro do polígono, lança-se um raio do infinito para o ponto e conta-se o número de vezes em que o raio cruza a borda do polígono. O número de cruzamentos é par se e somente se o ponto está fora do polígono. Este algoritmo funciona pois se o raio nunca cruza o polígono, então seu número de cruzamentos é zero, que é par, e o ponto está do lado de fora. Toda vez que o raio cruza o polígono, o número de cruzamentos alterna entre par e ímpar, e o ponto na extremidade alterna entre dentro e fora do polígono.[23]

Um grafo com 9 vértices, cores alternadas, legendados por distância do vértice na esquerda
Construção de uma bipartição

Em teoria dos grafos, um grafo bipartido é um grafo cujos vértices são separados em duas cores, tais que vértices vizinhos tem cores diferentes. Se um grafo conectado não tem ciclos, então uma bipartição pode ser construída ao escolher-se um vértice base e colorir todo vértice branco ou preto, dependendo da distância até ser par ou ímpar. Uma vez que a distância entre e si próprio é 0, e 0 é par, o vértice base é colorido diferentemente dos seus vizinhos, que repousam na distância de 1.[24]

Padrões algébricos[editar | editar código-fonte]

Inteiros -4 até +4 arranjados em uma espiral, com uma linha reta correndo através dos pares
2Z (azul) como um subgrupo de Z

Em álgebra abstrata, os inteiros pares formam várias estrutura algébricas que requerem a inclusão do zero. O fato de que a identidade aditiva (zero) é par, junto com a paridade da soma do inverso aditivo de números pares e a associatividade da adição, significa que os inteiros pares formam um grupo. Além disso, o grupo de inteiros pares sob adição é um subgrupo de todos os inteiros; isto é um exemplo elementar do conceito de subgrupo.[16] A observação anterior de que a regra "par - par = par" força 0 ser par é parte de um padrão geral: qualquer subconjunto não-vazio de um grupo aditivo que é fechado sob subtração deve ser um subgrupo, e em particular, deve conter a identidade.[25]

Uma vez que inteiros pares formam um subgrupo de inteiros, eles particionam os inteiros em coclasses. Estas coclasses podem ser descritas como classes de equivalência da seguinte relação de equivalência: se é par. Aqui, a paridade de zero é diretamente manifestada como a reflexividade da relação binária .[26] Existem apenas duas coclasses deste subgrupo — os números pares e ímpares — portanto, a relação tem índice 2.

Analogamente, o grupo alternante é um subgrupo de índice 2 no grupo simétrico de n letras. Os elementos do grupo alternante, chamados permutações pares, são produtos de números pares de transposições. A função identidade, um produto vazio sem transposições, é uma permutação par, uma vez que zero é par; é o elemento identidade do grupo.[27]

A regra "par × inteiro = par" significa que os números pares formam um ideal no anel de inteiros, e a relação de equivalência acima pode ser descrita como módulo de equivalência deste ideal. Em particular, inteiros pares são exatamente aqueles inteiros , onde . Esta formulação é útil para investigar as raízes inteiras de polinômios.[28]

Ordem 2-aditiva[editar | editar código-fonte]

Existe um sentido em que alguns múltiplos de 2 são "mais pares" do que outros. Múltiplos de 4 são chamados duplamente pares, uma vez que podem ser divididos por 2 duas vezes. Não somente zero é divisível por 4, como também tem a propriedade única de ser divisível por todas as potências de 2, superando todos os outros números em "paridade".[1]

Uma consequência desse fato aparece na ordenação bit-invertida de tipos de dados inteiros usados ​​por alguns algoritmos de computador, como a transformada rápida de Fourier de Cooley-Tukey. Esta ordenação tem a propriedade de que quanto mais para a esquerda o primeiro 1 ocorre na expansão binária de um número, ou quanto mais vezes ele for divisível por 2, mais cedo o 1 aparecerá. A bit-inversão de zero ainda é zero; pode ser dividido por 2 qualquer número de vezes, e sua expansão binária não contém nenhum 1, então ele sempre vem primeiro.[29]

Embora 0 seja divisível por 2 mais vezes do que qualquer outro número, não é tão fácil quantificar exatamente quantas vezes isso ocorre. Para qualquer inteiro n diferente de zero, pode-se definir a ordem 2-aditiva de n para ser o número de vezes em que n é divisível por 2. Esta descrição não funciona para 0: Não importa quantas vezes seja dividido por 2, sempre pode ser dividido por 2 novamente. Em vez disso, a convenção é configurar a ordem 2-aditiva de 0 como sendo infinita como um caso especial.[30] Esta convenção não é particular à ordem 2-aditiva; É um dos axiomas de uma valoração em álgebra superior.[31]

As potências de 2 — 1, 2, 4, 8, ... — formam uma sequência simples de números de ordem 2 crescente. Nos números 2-aditivos, tais sequências na verdade convergem para zero.[32]

Educação[editar | editar código-fonte]

Gráfico de barras; veja a descrição no corpo do texto
Respostas em porcentagem através do tempo[33]

O assunto da paridade de zero é frequentemente tratado nos primeiros dois ou três anos do ensino primário, à medida que o conceito de números pares e ímpares é introduzido e desenvolvido.[34]

Conhecimento dos estudantes[editar | editar código-fonte]

O gráfico à direita[33] retrata as crenças das crianças sobre a paridade do zero à medida que progridem do ano 1 para o ano 6 do sistema educacional inglês. Os dados são de Len Frobisher, que realizou alguns levantamentos escolares ingleses. Frobisher estava interessado em saber como o conhecimento da paridade de um único dígito se traduz no conhecimento de paridade de múltiplos dígitos e o números é figura proeminente nos resultados.[35]

Em uma pesquisa preliminar com cerca de 400 crianças de sete anos, 45% delas escolheram par ao invés de ímpar quando perguntadas sobre a paridade do zero.[36] Uma pesquisa posterior ofereceu mais escolhas: nenhum dos dois, ambos e não sei. Desta vez, o número de crianças no mesmo período de idade que identificou zero como par caiu para 32%.[37] O acerto na decisão de que o zero é par inicialmente dispara pra cima e então nivela por volta de 50% nos anos 3 a 6.[38] Em comparação, a tarefa mais fácil, identificar a paridade de um único dígito, atinge cerca de 85% de sucesso.[39]

Em entrevistas, Frobisher suscitou o raciocínio dos alunos. Um quintanista decidiu que 0 era par porque foi encontrado na tabela de multiplicação do 2. Uma dupla de quartanistas percebeu que zero pode ser dividido em duas partes iguais. Outro quartanista raciocinou que como"1 é ímpar, se eu descer é par".[40] As entrevistas também revelaram os equívocos por trás de respostas incorretas. Um secundarista estava "bastante convencido" de que zero era ímpar, comentando "é o primeiro número que você conta" em sua resposta.[41] Um quartanista referiu-se a 0 como "nenhum" e pensou que não era nem ímpar nem par, já que "não era um número".[42] Em outro estudo, Annie Keith observou uma classe de 15 estudantes do segundo grau que se convenceram de que zero era um número par com base na alternância ímpar-par e na possibilidade de dividir um grupo de zero coisas em dois grupos de igual tamanho.[43]

Pesquisas mais aprofundadas foram realizadas por Esther Levenson, Pessia Tsamir e Dina Tirosh, que entrevistaram um par de estudantes de sexto ano que estavam tendo alto desempenho em sua aula de matemática. Um estudante preferiu as explicações dedutivas das alegações matemáticas, enquanto o outro preferiu exemplos práticos. Ambos os alunos inicialmente pensaram que 0 não era nem ímpar, nem par, por diferentes motivos. Levenson et al demonstrou como o raciocínio dos alunos refletiu seus conceitos de zero e divisão.[44]

Afirmações feitas por estudantes[45]
"Zero não é nem par nem ímpar."
"Zero poderia ser par."
"Zero não é ímpar."
"Zero tem que ser par."
"Zero não é um número par."
"Zero sempre será um número par."
"Zero nem sempre será um número par."
"Zero é par."
"Zero é especial."

Deborah Loewenberg Ball analisou as idéias de alunos da terceira série sobre números pares e ímpares e o zero, que eles tinham acabado de discutir com um grupo de alunos do quarto ano. Os alunos discutiram a paridade de zero, as regras para os números pares, e como a matemática é feita. As afirmações sobre zero assumiram muitas formas, como visto na lista à direita.[45] Ball e seus co-autores argumentaram que o episódio demonstrou como os alunos podem "fazer matemática na escola", ao contrário da redução usual da disciplina à solução mecânica de exercícios.[46]

Um dos temas da literatura de pesquisa é a tensão entre as imagens conceituais dos alunos sobre a paridade e suas definições conceituais.[47] Os alunos do sexto ano de Levenson et al. definiram números pares como múltiplos de 2 ou números divisíveis por 2, mas inicialmente não conseguiram aplicar essa definição a zero, porque não tinham certeza de como multiplicar ou dividir zero por 2. O entrevistador eventualmente os levou a concluir que zero era par; Os alunos tomaram diferentes rotas para essa conclusão, com base em uma combinação de imagens, definições, explicações práticas e abstratas. Em outro estudo, David Dickerson e Damien Pitman examinaram o uso de definições por cinco estudantes de graduação em matemática. Eles descobriram que os alunos de graduação conseguiram em grande parte aplicar a definição de "par" a zero, mas ainda não estavam convencidos por esse raciocínio, uma vez que entrava em conflito com suas imagens conceituais.[48]

Conhecimento dos professores[editar | editar código-fonte]

Pesquisadores de educação matemática na Universidade de Michigan tem incluído o prompt verdadeiro-ou-falso "0 é um número par" em um banco de dados de mais de 250 perguntas projetadas para medir o conhecimento do conteúdo de professores. Para eles, a questão exemplifica "conhecimento comum ... que qualquer adulto bem educado deveria ter", e é "ideologicamente neutro" na medida em que a resposta não varia entre a matemática tradicional e a matemática reformada. Em um estudo de 2000 a 2004 com 700 professores de ensino primário nos Estados Unidos, o desempenho geral nessas questões previu melhorias significativas nos resultados dos exames padronizados dos alunos após terem feito as aulas com esses professores.[49] Em um estudo mais aprofundado de 2008, os pesquisadores encontraram uma escola onde todos os professores achavam que zero não era nem ímpar, nem par, incluindo um professor que era considerado exemplar em todas as medidas. O equívoco foi espalhado por um instrutor de matemática em seu prédio.[50]

É incerto quantos professores mantém equívocos sobre o zero. Os estudos de Michigan não publicaram os dados por questões individuais. Betty Lichtenberg, professora associada de educação matemática na Universidade do Sul da Flórida, em um estudo de 1972 informou que, quando um grupo de futuros professores da escola primária receberam um teste verdadeiro-ou-falso incluindo o item "Zero é um número par", eles achavam que era uma "pegadinha", com cerca de dois terços respondendo "Falso".[51]

Implicações para instrução[editar | editar código-fonte]

Matematicamente, provar que zero é par é uma questão simples de aplicar uma definição, mas é necessária mais explicação no contexto da educação. Um problema diz respeito aos fundamentos da prova; A definição de "par" como "múltiplo inteiro de 2" nem sempre é apropriada. Um aluno nos primeiros anos de ensino primário pode ainda não ter aprendido o que "inteiro" ou "múltiplo" significa, e muito menos como se multiplicar com 0.[52] Além disso, indicar uma definição de paridade para todos os números inteiros pode parecer um atalho conceitual arbitrário se os únicos números pares investigados até então tiverem sido os positivos. Isso pode ajudar a reconhecer que, à medida que o conceito de número é estendido de inteiros positivos para incluir o zero e inteiros negativos, propriedades de número como a paridade também são estendidas de forma não trivial.[53]

Cognição numérica[editar | editar código-fonte]

Números de 0 a 8, repetidos duas vezes em um arranjo complexo; Os 0s estão no topo, separados por uma linha pontilhada
Análise estatística de dados experimentais, mostrando a separação de 0. Nesta análise espacial, apenas o agrupamento de dados é importante; os eixos são arbitrários.[54]

Os adultos que acreditam que o zero é par podem, no entanto, não estar familiarizados em rotulá-lo como par, o suficiente para retardá-los significativamente em um experimento de tempo de reação. Stanislas Dehaene, pioneira no campo da cognição numérica, liderou uma série desses experimentos no início da década de 1990. Um numeral ou o nome de um número é exibido para o sujeito em um monitor, e um computador registra o tempo que o sujeito leva para pressionar um dos dois botões para identificar o número como par ou ímpar. Os resultados mostraram que 0 foi mais lento para ser processado pelos sujeitos do que outros números pares. Algumas variações do experimento encontraram atrasos de até 60 milissegundos, ou cerca de 10% do tempo médio de reação — uma pequena, mas significativa diferença.[55]

Os experimentos de Dehaene não foram projetados especificamente para investigar o zero, mas para comparar modelos concorrentes de como a informação de paridade é processada e extraída. O modelo mais específico, a hipótese de cálculo mental, sugere que as reações a 0 devem ser rápidas; 0 é um número pequeno, e é fácil calcular (Os indivíduos calculam e nomeiam o resultado da multiplicação por zero mais rápido do que a multiplicação por números não-nulos, embora sejam mais lentos para verificar resultados propostos como ). Os resultados dos experimentos sugeriram que algo bastante diferente estava acontecendo: a informação de paridade foi aparentemente recuperada da memória, juntamente com um conjunto de propriedades relacionadas, tais como ser número primo ou uma potência de dois. Tanto a sequência de potências de dois quanto a sequência de números pares positivos 2, 4, 6, 8, ... são categorias mentais bem distinguidas cujos membros são prototipicamente pares. Zero não pertence a nenhuma lista, daí as respostas mais lentas.[56]

Repetidos experimentos mostraram um atraso em relação ao zero para sujeitos com várias idades e origens nacionais e linguísticas, confrontados com nomes de números em forma de numeral, soletrados e soletrados em uma imagem espelhada. O grupo de Dehaene encontrou um fator diferenciador: conhecimentos matemáticos. Em uma de suas experiências, os alunos da Escola Normal Superior de Paris foram divididos em dois grupos: aqueles de estudos literários e aqueles que estudam matemática, física ou biologia. O desaceleramento em 0 foi "essencialmente encontrado no grupo [literário]" e, de fato, "antes do experimento, alguns sujeitos [literários] não tinham certeza se era par ou ímpar e tinham que lembrar a definição matemática".[57]

Esta forte dependência da familiaridade enfraquece de novo a hipótese de cálculo mental.[58] O efeito também sugere que não é apropriado incluir zero em experimentos onde os números pares e ímpares são comparados como um grupo. Como diz um estudo, "a maioria dos pesquisadores parece concordar que zero não é um número par típico e não deve ser investigado como parte da linha mental dos números".[59]

Contextos cotidianos[editar | editar código-fonte]

Alguns dos contextos onde a paridade de zero aparece são puramente retóricos. A questão fornece material para fóruns na Internet e sites de perguntas.[60] O linguista Joseph Grimes acredita que perguntar "zero é um número par?" para casais é uma boa maneira de fazê-los discordar.[61] As pessoas que pensam que zero não é nem par nem ímpar podem usar a paridade de zero como prova de que cada regra tem um contraexemplo,[62] ou como um exemplo de uma "pegadinha".[63]

Por volta do ano 2000, os meios de comunicação notaram um par de marcos incomuns: "19/11/1999" foi a última data de calendário composta por todos os dígitos ímpares que vai ocorrer por muito tempo (a próxima data composta somente por números ímpares será 11/11/3111), e "02/02/2000" foi a primeira data toda par a ocorrer em muito tempo (a data composta somente por dígitos pares anterior foi 28/08/888, se o calendário gregoriano puder ser usado retroativamente a sua promulgação).[64] Como esses resultados fazem uso de 0 sendo par, alguns leitores discordaram da ideia.[65]

Em testes padronizados, se uma questão pergunta sobre o comportamento de números pares, pode ser necessário ter em mente que zero é par.[66] As publicações oficiais relativas aos testes GMAT e GRE estabelecem que 0 é par.[67]

A paridade de zero é relevante para o rodízio ímpar-par, em que os motoristas de carros podem dirigir ou comprar gasolina em dias alternados, de acordo com a paridade do último dígito em suas placas. A metade dos números em uma determinada gama termina em 0, 2, 4, 6, 8 e a outra metade em 1, 3, 5, 7, 9, então faz sentido incluir 0 com os outros números pares. No entanto, em 1977, um sistema de racionamento de Paris levou à confusão: em um dia ímpar, a polícia evitou multar motoristas cujas placas terminavam em 0, porque não sabiam se 0 era par ou não. Para evitar tal confusão, a legislação pertinente às vezes estipula que zero é par;[68] Tais leis foram aprovadas em Nova Gales do Sul[69] e Maryland.[70] Em São Paulo, o rodízio é feito de forma distinta e não parece levar em conta essa questão sobre a paridade do zero: na segunda-feira ficam proibidos de circular em determinada área carros de placas 1 e 2, na terça-feira, os carros de finais de placa 3 e 4 não circulam, na quarta-feira os de final 5 e 6, na quinta-feira os de final 7 e 8 e finalmente na sexta-feira, os de final 9 e 0.[71]

Nos navios da Marinha dos Estados Unidos, os compartimentos de números pares ficam ao lado da porta, mas o número zero é reservado para compartimentos que cruzam a linha central do navio. Ou seja, os números são lidos 6-4-2-0-1-3-5 da porta a estibordo.[72] No jogo da roleta, o número 0 não conta como par ou ímpar, dando ao cassino uma vantagem em tais apostas.[73] Da mesma forma, a paridade de zero pode afetar as recompensas em apostas quando o resultado depende de algum número aleatório ser ímpar ou par, e resulta ser zero.[74]

O jogo de "par ou ímpar" também é afetado: se ambos os jogadores lançam zero dedos, o número total de dedos é zero, então o jogador par ganha.[75] Um manual para professores sugere jogar este jogo como uma forma de introduzir as crianças no conceito de que 0 é divisível por 2.[76]

Referências[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b Arnold 1919, p. 21 "Pelo mesmo teste zero supera todos os números em 'paridade'."; Wong 1997, p. 479 "Portanto, o inteiro b000⋯000 = 0 é o mais 'par'."
  2. Penner 1999, p. 34: Lema B.2.2, O inteiro 0 é par e não é ímpar. Penner usa o símbolo matemático ∃, a quantificação existencial, para estabelecer a prova: "Para ver que 0 é par, nós devemos provar que k (0 = 2k), e isto segue da igualdade 0 = 2 ⋅ 0."
  3. Ball, Lewis & Thames 2008, p. 15 discute este desafio para professores das séries primárias, que querem dar razoes matemáticas para fatos matemáticos, mas cujos estudantes nem usam a mesma definição, nem poderiam entendê-la se fosse introduzida.
  4. Compare Lichtenberg 1972, p. 535 Fig. 1
  5. Lichtenberg 1972, pp. 535–536 " ... números respondem a questão 'Quantos?' para o conjunto de objetos ... zero é o número propriedade do conjunto vazio ... Se os elementos de cada conjunto são marados em grupos de dois ... então o número desse conjunto é um número par."
  6. Lichtenberg 1972, pp. 535–536 "Zero grupos de estrelas são circuladas. Nenhuma estrela sobra. Assim sendo, zero é um número par."
  7. Dickerson & Pitman 2012, p. 191.
  8. Lichtenberg 1972, p. 537; compare sua Fig. 3. "Se os números pares são identificados em alguma maneira especial ... não existe razão alguma para omitir zero do padrão."
  9. Lichtenberg 1972, pp. 537–538 "Em um nível mais avançado ... números expressos como (2 × ▢) + 0 são números pares ... zero se encaixa muito bem nesse padrão."
  10. Caldwell & Xiong 2012, pp. 5–6.
  11. Gowers 2002, p. 118 "A exclusão aparentemente arbitrária de 1 da definição de primo ... não expressa um fato profundo sobre os números: simplesmente é uma convenção útil, adotada, de modo que existe apenas uma maneira de fatorizar qualquer número dado em números primos." Para um mais discussão mais detalhada, veja Caldwell & Xiong 2012.
  12. a b c Partee 1978, p. xxi
  13. a b Stewart 2001, p. 54 Estas regras são dadas, mas elas não são citadas textualmente.
  14. Devlin 1985, pp. 30–33
  15. Penner 1999, p. 34.
  16. a b Berlinghoff, Grant & Skrien 2001 Para vértices isolados veja p. 149; para grupos veja p.311.
  17. Lovász, Pelikán & Vesztergombi 2003, pp. 127–128
  18. Starr 1997, pp. 58–62
  19. Border 1985, pp. 23–25
  20. Lorentz 1994, pp. 5–6; Lovas & Pfenning 2008, p. 115; Nipkow, Paulson & Wenzel 2002, p. 127
  21. Bunch 1982, p. 165
  22. Salzmann et al. 2007, p. 168
  23. Wise 2002, pp. 66–67
  24. Anderson 2001, p. 53; Hartsfield & Ringel 2003, p. 28
  25. Dummit & Foote 1999, p. 48
  26. Andrews 1990, p. 100
  27. Tabachnikova & Smith 2000, p. 99; Anderson & Feil 2005, pp. 437–438
  28. Barbeau 2003, p. 98
  29. Wong 1997, p. 479
  30. Gouvêa 1997, p. 25 De um primo p geral: "A razão aqui é que nós podemos certamente dividir 0 por p, e a resposta é 0, que podemos dividir por p ..." (elipses no original)
  31. Krantz 2001, p. 4
  32. Salzmann et al. 2007, p. 224
  33. a b Frobisher 1999, p. 41
  34. Este é o prazo nos Estados Unidos, Canadá, Grã Bretanha, Austrália e Israel; veja Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, p. 85.
  35. Frobisher 1999, pp. 31 (Introdução); 40–41 (O número zero); 48 (Implicações para o ensino)
  36. Frobisher 1999, pp. 37, 40, 42; os resultados são da pesquisa realizada no meio das férias de verão de 1992.
  37. Frobisher 1999, p. 41 "A porcentagem de crianças do segundo ano decidindo que zero é um número par é muito menor que no estudo anterior, 32 porcento contra 45 porcento"
  38. Frobisher 1999, p. 41 "O sucesso em decidir que zero é um número par não continua a crescer com a idade, com aproximadamente uma em duas crianças dos anos 2 a 6 colocando um tiquetaque na caixa dos 'pares' ..."
  39. Frobisher 1999, pp. 40–42, 47; estes resultados são do estudo de fevereiro de 1999, incluindo 481 crianças, de três escolas em uma variedade de níveis de conhecimento.
  40. Frobisher 1999, p. 41, atribuído a "Jonathan"
  41. Frobisher 1999, p. 41, atribuído a "Joseph"
  42. Frobisher 1999, p. 41, atribuido a "Richard"
  43. Keith 2006, pp. 35–68 "Havia pouco desentendimento com a ideia de que zero era um número par. Os estudantes convenceram os poucos que não tinham certeza com dois argumentos: O primeiro argumento era que os números entram em um padrão ... ímpar, par, ímpar, par, ímpar, par ... e uma vez que dois é par e um é ímpar, então o número antes de um, que não é uma fração, seria zero. Então, zero precisaria ser par; O segundo argumento foi que, se uma pessoa tem zero coisas e as colocou em dois grupos iguais, haveria zero em cada grupo. Os dois grupos teriam a mesma quantidade: zero."
  44. Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, pp. 83–95
  45. a b Ball, Lewis & Thames 2008, p. 27, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."
  46. Ball, Lewis & Thames 2008, p. 16.
  47. Levenson, Tsamir & Tirosh 2007; Dickerson & Pitman 2012
  48. Dickerson & Pitman 2012.
  49. Ball, Hill & Bass 2005, pp. 14–16
  50. Hill et al. 2008, pp. 446–447.
  51. Lichtenberg 1972, p. 535
  52. Ball, Lewis & Thames 2008, p. 15. Veja também as notas de Ball para discussão futura de definições apropriadas.
  53. Como concluído por Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, p. 93, referenciando Freudenthal 1983, p. 460
  54. Nuerk, Iversen & Willmes 2004, p. 851: "Também pode ser visto que zero difere fortemente de todos os outros números, independentemente de ser respondido com a mão esquerda ou direita. (Veja a linha que separa zero dos outros números)"
  55. Veja os dados em Dehaene, Bossini & Giraux 1993, e resumido por Nuerk, Iversen & Willmes 2004, p. 837.
  56. Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pp. 374–376
  57. Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pp. 376–377
  58. Dehaene, Bossini & Giraux 1993, p. 376 "Em algum sentido intuitivo, a noção de paridade é familiar apenas para números maiores do que 2. Na verdade, antes do experimento, alguns sujeitos L não tinham certeza se 0 era ímpar ou par e precisava ser lembrado da definição matemática. A evidência, em resumo, sugere que, em vez de ser calculado on-line, usando um critério de divisibilidade por 2, a informação de paridade é recuperada da memória juntamente com várias outras propriedades semânticas ... Se uma memória semântica for acessada em julgamentos de paridade, então as diferenças interindividuais devem ser encontradas dependendo da familiaridade dos sujeitos com conceitos de números".
  59. Nuerk, Iversen & Willmes 2004, pp. 838, 860–861
  60. The Math Forum participants 2000; Straight Dope Science Advisory Board 1999; Doctor Rick 2001
  61. Grimes 1975, p. 156 "...pode-se colocar as seguintes questões para casais do seu conhecimento: (1) é zero um número par? ... Muitos casais discordam..."
  62. Wilden & Hammer 1987, p. 104
  63. Snow 2001; Morgan 2001
  64. Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
  65. Sones & Sones 2002 "Segue que zero é par, e que 20/02/2000 quebra o quebra-cabeça. No entanto, sempre é surpreendente o quanto as pessoas estão incomodadas ao chamar zero de par... "; Column 8 readers 2006a" '... de acordo com matemáticos, o número zero, juntamente com números negativos e frações, é nem par nem ímpar", escreve Etan ..."; Column 8 readers 2006b "'Eu concordo que zero é par, mas o Professor Bunder é sábio para "provar" afirmando que 0 = 2 x 0? Por essa lógica (de um PhD em lógica matemática, não menos), como 0 = 1 x 0, também é ímpar! O professor disputará isso e, logicamente, ele tem uma base sólida para fazê-lo, mas podemos estar usando este tópico um pouco fino ... "
  66. Kaplan Staff 2004, p. 227
  67. Graduate Management Admission Council 2005, pp. 108, 295–297; Educational Testing Service 2009, p. 1
  68. Arsham 2002; As aspassão atribuídas ao heute broadcast de 1º de outubro de 1977. A conta de Arsham é repetida por Crumpacker 2007, p. 165.
  69. Sones & Sones 2002 "O matemático de Penn State, George Andrews, que lembra um tempo de racionamento de gás na Austrália ... Então alguém no parlamento de Nova Gales do Sul afirmou que isso significava que as placas que terminavam em zero nunca poderiam obter gás, porque 'zero não é ímpar ou par". Assim, o parlamento de Nova Gales do Sul decidiu que, para fins de racionamento de gás, zero é um número par!'"
  70. Uma lei de 1980 de Maryland especifica: "(a) Em datas de calendário numeradas pares gasolina deverá somente ser comprada por operadores de veículos tendo placas de registro personalizadas contendo nenhum número e placas de registro com o último dígito terminando em um número par. Isto não deve incluir placas de rádio amador. Zero é um número par; (b) Em datas numeradas ímpares ..." aspas parciais tomadas de Laws of the State of Maryland, Volume 2 - 1974 do Department of Legislative Reference, disponível aqui, p. 3236}}
  71. «Decreto nº 37.085 - de 3 de outubro de 1997» (PDF). Prefeitura de São Paulo apud site da CET. 3 de outubro de 1997. Consultado em 11 de julho de 2017 
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