Espaço de Bochner

Em matemática, os espaços de Bochner são uma generalização do conceito de espaços $L^{p}$ para funções cujos valores estão em um espaço de Banach que não é necessariamente o espaço $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ de números reais ou complexos. O espaço $L^{p}(X)$ consiste em (classes de equivalência de) todas as funções mensuráveis de Bochner $f$ com valores no espaço Banach $X$ cuja norma $\|f\|_{X}$ encontra-se no padrão espaço $L^{p}$. Portanto, se $X$ é o conjunto de números complexos, é o Lebesgue padrão espaço $L^{p}$.

Quase todos os resultados padrão em espaços $L^{p}$ também se mantêm nos espaços Bochner; em particular, os espaços Bochne $L^{p}(X)$ são espaços de Banach para $1\leq p\leq \infty .$ Os espaços de Bochner são nomeados em homenagem ao matemático Salomon Bochner.

Definição

Dado um espaço de medida $(T,\Sigma ;\mu ),$ um espaço Banach $\left(X,\|\,\cdot \,\|_{X}\right)$ e $1\leq p\leq \infty ,$ o espaço de Bochner $L^{p}(T;X)$ é definido como o quociente de Kolmogorov (por igualdade em quase todos os lugares) do espaço de todas as funções mensuráveis de Bochner $u:T\to X$ de modo que a norma correspondente é finita:

$$\|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,$$

$$\|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty .$$

Em outras palavras, como é comum no estudo de espaços $L^{p}$, $L^{p}(T;X)$ é um espaço de classes de equivalência de funções, onde duas funções são definidas para serem equivalentes se forem iguais em todos os lugares, exceto em um $\mu$-medir subconjunto zero de $T.$ Como também é usual no estudo de tais espaços, é comum abusar da notação e falar de uma "função" em $L^{p}(T;X)$ em vez de uma classe de equivalência (o que seria mais tecnicamente correto).