Número real

 Nota: Para outros significados de Real, veja Real.

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

O conjunto dos números reais $\mathbb {R} \,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

Propriedades

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, $\mathbb {R} \,$ tem a seguinte propriedade:

• Se $\mathbb {R} \,$ for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

$\forall A,B,(\mathbb {R} =A\cup B\land (\forall a\in A,b\in B,(a<b))\implies (\exists x,(\forall a\in A,b\in B\implies a\leq x\leq b))\,$

Construção intuitiva

Intuitivamente, podemos construir o conjuntos dos números reais a partir dos racionais da seguinte forma: uma reta formada por números racionais tem buracos (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 2). O conjunto dos números reais completa essa reta, tapando todos os buracos, de forma que se a reta real está dividida em duas semi-retas, então existe um ponto separando as duas semi-retas.

Construção rigorosa

Existem várias formas rigorosas de construir $\mathbb {R} \,$ a partir de $\mathbb {Q} \,$, as mais tradicionais são através dos cortes de Dedekind e de sucessões de Cauchy.

Extensões

• O corpo dos números complexos é a única extensão algébrica do corpo $\mathbb {R} \,$.
• Não existe nenhuma extensão própria de $\mathbb {R} \,$ que seja um corpo Arquimediano.
• Uma extensão transcendente de $\mathbb {R} \,$ pode ser construída tomando-se o corpo de frações gerado pelo anel de polinômios reais. Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, de forma que a inclusão de $\mathbb {R} \,$ neste corpo seja um isomorfismo de corpos ordenados entre $\mathbb {R} \,$ e sua imagem. Obviamente, neste corpo existem elementos maiores que qualquer racional, cujos inversos são números positivos menores que qualquer racional positivo (infinitésimos).
• O corpo ordenado dos números hiperreais estende $\mathbb {R} \,$, incluindo números infinitesimais.
• Pode-se acrescentar os dois elementos $-\infty {\mbox{ e }}\infty \ {\mbox{ a }}\mathbb {R} \,$, obtendo-se os números reais estendidos. Este conjunto, porém, não é um corpo, porque a soma e a multiplicação não são operações binárias (por exemplo, não existe uma definição satisfatória de $[(-\infty )+\infty \,$].

• Wikilivros

Leitura adicional

• Georg Cantor, 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, páginas 258–262.
• Solomon Feferman,1989, The Numbers Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.
• Robert Katz, 1964, Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Edmund Landau, 2001, ISBN 0-8218-2693-X, Foundations of Analysis, American Mathematical Society.
• Howie, John M., Real Analysis, Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6
• Schumacher, Carol (1996). ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 0-201-82653-4