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Na matemática, o termo função linear se refere a duas noções distintas, mas relacionadas:^[1]

No cálculo e em áreas afins, uma função linear é uma função cujo gráfico [en] é uma linha reta, ou seja, uma função polinomial [en] de grau zero ou um.^[2] Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo função afim é frequentemente usado.^[3]
Na álgebra linear, na análise matemática^[4] e na análise funcional, uma função linear é um mapa linear.^[5]

Como uma função polinomial

No cálculo, na geometria analítica e em áreas afins, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio zero [en] (este último não sendo considerado como tendo grau zero).

Quando a função é de apenas uma variável, ela é da forma

f(x)=ax+b,

onde $a$ e $b$ são constantes, frequentemente números reais. O gráfico [en] de tal função de uma variável é uma linha não vertical. $a$ é frequentemente referido como a inclinação da linha e $b$ como a interceptação.

Se a > 0, então o gradiente é positivo e o gráfico se inclina para cima.

Se a < 0, então o gradiente é negativo e o gráfico se inclina para baixo.

Para uma função $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$ de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é

f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},

e o gráfico é um hiperplano de dimensão k.

Uma função constante também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio zero. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma linha horizontal.

Nesse contexto, uma função que também é um mapa linear (o outro significado) pode ser chamada de função linear homogênea ou forma linear. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são os mapas afins [en] de valor escalar.

Como um mapa linear

Na álgebra linear, uma função linear é um mapa f entre dois espaços vetoriais s.t.

f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )

f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).

Aqui $a$ denota uma constante pertencente a algum campo $K$ de escalares (por exemplo, os números reais) e $x$ e $y$ são elementos de um espaço vetorial, que pode ser o próprio $K$ .

Em outros termos, a função linear preserva a adição vetorial [en] e a multiplicação escalar.

Alguns autores usam "função linear" apenas para mapas lineares que assumem valores no campo escalar;<ref>Gelfand (1961)</ref estes são mais comumente chamados de formas lineares.

As "funções lineares" do cálculo se qualificam como "mapas lineares" quando (e somente quando) $f (0, ..., 0) = 0$ , ou, equivalentemente, quando a constante acima $b$ é igual a zero. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.

Ver também

Sistema não linear
Mínimo de quadrados linear [en]

Notas

↑ "O termo função linear significa uma forma linear em alguns livros e uma função afim em outros." Vaserstein (2006), página(s) 50 - 51
↑ Stewart (2012), página 23
↑ A. Kurosh (1975). Higher algebra (em inglês). [S.l.]: Mir publishers. p. 214
↑ T. M. Apostol (1981). Mathematical analysis (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. p. 345
↑ Shores (2007), página 71

Referências

Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear algebra (em inglês), Interscience publishers, Inc., Nova York. Reimpresso por Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
Thomas S. Shores (2007), Applied linear algebra and matrix analysis (em inglês), Undergraduate texts in mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
James Stewart (2012), Calculus: Early transcendentals (em inglês), edição 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear programming" (em inglês), em Leslie Hogben [en], ed., Handbook of linear algebra (em inglês), Discrete mathematics and its applications (em inglês), Chapman and Hall/CRC, capítulo 50. ISBN 1-584-88510-6

[1] "O termo função linear significa uma forma linear em alguns livros e uma função afim em outros." Vaserstein (2006), página(s) 50 - 51

[2] Stewart (2012), página 23

[3] A. Kurosh (1975). Higher algebra (em inglês). [S.l.]: Mir publishers. p. 214

[4] T. M. Apostol (1981). Mathematical analysis (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. p. 345

[5] Shores (2007), página 71

[1]

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[3]

[4]

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+{{Descrição curta|Mapa linear ou função polinomial de grau um}}
-#REDIRECIONAMENTO [[Transformação linear]]
+{{Para|o uso do termo em cálculo|Função afim{{!}}Função linear (cálculo).}}
+Na [[matemática]], o termo '''função linear''' se refere a duas noções distintas, mas relacionadas:<ref>"O termo ''função linear'' significa uma forma linear em alguns livros e uma função afim em outros." Vaserstein (2006), página(s) 50 - 51</ref>
+* No [[Cálculo infinitesimal|cálculo]] e em áreas afins, uma função linear é uma [[Função (matemática)|função]] cujo gráfico{{Ill|en||Graph of a function|nlk=true}} é uma [[Reta|linha reta]], ou seja, uma [[função polinomial]]{{Ill|en||Polynomial#Polynomial_functions|nlk=true}} de [[Grau de um polinômio|grau]] zero ou um.<ref>Stewart (2012), página 23</ref> Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo ''[[função afim]]'' é frequentemente usado.<ref>{{Cite book |author=A. Kurosh |title=Higher algebra |year=1975 |publisher=''Mir publishers'' |page=214 |language=en }}</ref>
+* Na [[álgebra linear]], na [[análise matemática]]<ref>{{Cite book |author=T. M. Apostol |title=Mathematical analysis |year=1981 |publisher=Addison-Wesley |page=345 |language=en }}</ref> e na [[análise funcional]], uma função linear é um [[Transformação linear|mapa linear]].<ref>Shores (2007), página 71</ref>
+== Como uma função polinomial ==
+{{Artigo principal|Função afim{{!}}Função linear (cálculo)}}
+[[File:Linear Function Graph.svg|thumb|Gráficos de duas funções lineares.]]
+No cálculo, na [[geometria analítica]] e em áreas afins, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio zero{{Ill|en||Polynomial#zero_polynomial|nlk=true}} (este último não sendo considerado como tendo grau zero).
+Quando a função é de apenas uma [[Variável (matemática)|variável]], ela é da forma
+: <math>f(x)=ax+b,</math>
+onde {{Mvar|''a''}} e {{Mvar|''b''}} são [[Constante matemática|constantes]], frequentemente [[Número real|números reais]]. O gráfico{{Ill|en||Graph of a function|nlk=true}} de tal função de uma variável é uma linha não vertical. {{Mvar|''a''}} é frequentemente referido como a inclinação da linha e {{Mvar|''b''}} como a interceptação.
+Se ''a'' > 0, então o [[Declive|gradiente]] é positivo e o gráfico se inclina para cima.
+Se ''a'' < 0, então o [[Declive|gradiente]] é negativo e o gráfico se inclina para baixo.
+Para uma função <math>f(x_1, \ldots, x_k)</math> de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é
+: <math>f(x_1, \ldots, x_k) = b + a_1 x_1 + \cdots + a_k x_k ,</math>
+e o gráfico é um [[hiperplano]] de dimensão {{Nowrap|''k''}}.
+Uma [[função constante]] também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio zero. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma linha horizontal.
+Nesse contexto, uma função que também é um mapa linear (o outro significado) pode ser chamada de função linear [[Função homogênea|homogênea]] ou [[forma linear]]. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são os mapas afins{{Ill|en||Affine transformation#Affine maps|nlk=true}} de valor escalar.
+== Como um mapa linear ==
+{{Artigo principal|Transformação linear{{!}}Mapa linear}}
+[[File:Integral as region under curve.svg|thumb|A [[integral]] de uma função é um mapa linear do espaço vetorial de funções integráveis para os números reais.]]
+Na álgebra linear, uma função linear é um mapa ''f'' entre dois [[Espaço vetorial|espaços vetoriais]] s.t.
+:<math>f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y}) </math>
+:<math>f(a\mathbf{x}) = af(\mathbf{x}). </math>
+Aqui {{Math|''a''}} denota uma constante pertencente a algum [[Corpo (matemática)|campo]] {{Math|''K''}} de [[Grandeza escalar|escalares]] (por exemplo, os [[Número real|números reais]]) e {{Math|''x''}} e {{Math|''y''}} são elementos de um [[espaço vetorial]], que pode ser o próprio {{Math|''K''}}.
+Em outros termos, a função linear preserva a [[Vetor (matemática)#Adição|adição vetorial]]{{Ill|en||Euclidean vector#Addition and subtraction|nlk=true}} e a [[multiplicação escalar]].
+Alguns autores usam "função linear" apenas para mapas lineares que assumem valores no campo escalar;<ref>Gelfand (1961)</ref estes são mais comumente chamados de [[Forma linear|formas lineares]].
+As "funções lineares" do cálculo se qualificam como "mapas lineares" quando (e somente quando) {{Math|1=''f''(0, ..., 0) = 0}}, ou, equivalentemente, quando a constante acima {{Mvar|b}} é igual a zero. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.
+== Ver também ==
+* [[Aproximação linear]]
+* [[Função homogênea]]
+* [[Função linear em trecho|Função linear em partes]]
+* [[Interpolação linear]]
+* Mapa linear descontínuo{{Ill|en||Discontinuous linear map|nlk=true}}
+* [[Sistema dinâmico não linear|Sistema não linear]]
+* Mínimo de quadrados linear{{Ill|en||Linear least squares|nlk=true}}
+== Notas ==
+<references/>
+== Referências ==
+* Izrail Moiseevich Gelfand (1961), ''Lectures on Linear algebra'' (em inglês), ''Interscience publishers, Inc.'', ''Nova York''. Reimpresso por ''Dover'', 1989. {{Isbn|0-486-66082-6}}
+* Thomas S. Shores (2007), ''Applied linear algebra and matrix analysis'' (em inglês), [[Undergraduate Texts in Mathematics|''Undergraduate texts in mathematics'']], ''Springer''. {{Isbn|0-387-33195-6}}
+*James Stewart (2012), ''Calculus: Early transcendentals'' (em inglês), edição 7E, ''Brooks/Cole''. {{Isbn|978-0-538-49790-9}}
+* Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear programming" (em inglês), em Leslie Hogben{{Ill|en||Leslie Hogben|nlk=true}}, ed., ''Handbook of linear algebra'' (em inglês), ''Discrete mathematics and its applications'' (em inglês), ''Chapman and Hall/CRC'', capítulo 50.  {{Isbn|1-584-88510-6}}
+<!-- {{Calculus topics}} enwiki -->
+[[Categoria:Funções polinomiais]]