Unidades atômicas

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As Unidades Atômicas (ua) formam um sistema de unidades conveniente para a física atômica, eletromagnetismo, mecânica e eletrodinâmica quânticas, especialmente quando nos interessamos nas propriedades dos elétrons. Há dois tipos diferentes de unidades atômicas, denominadas unidades atômicas de Hartree e unidades atômicas de Rydberg, que diferem na eleição da unidade de massa e carga. Neste artígo trataremos sobre as unidades atômicas de Hartree. Em ua, os valores numéricos das seguintes seis constantes físicas se definem como a unidade:

Unidades fundamentais[editar | editar código-fonte]

Unidades Atômicas Fundamentais
Magnitude Nome Símbolo Valor (unidades do SI) Escala de Unidades de Planck
comprimento Raio de Bohr a_0 5.291 772 108(18)×10−11 m 10−35 m
massa massa em repouso do elétron m_e 9.109 3826(16)×10−31 kg 10−8 kg
carga carga elementar e 1.602 176 53(14)×10−19 C 10−18 C
momento angular constante de Planck \hbar = h/2 \pi 1.054 571 68(18)×10−34 J s (igual)
energia energia de Hartree E_h 4.359 744 17(75)×10−18 J 109 J
constante de força eletrostática constante de Coulomb 1/(4\pi \epsilon_0) 8.987 742 438×109 C−2 N m2 (igual)

Estas seis unidades não são independentes; para normalizá-las simultaneamente a 1, é suficiente normalizar quatro delas a 1. A normalização da energia de Hartree e da constante de Coulomb, por exemplo, são uma consequência de normalizar as outras quatro magnitudes.

Análise dimensional[editar | editar código-fonte]

Para comprovar, por exemplo, como a normalização da energia de Hartree e de Bohr são consequência de normalizar a massa e carga do elétron e as constantes de Planck e de Coulomb, podemos utilizar a análise dimensional. Assim, se consideramos as dimensões do operador energia cinética em unidades do Sistema Internacional, temos que a Hartree pode ser expressa como

 E_h = {{\hbar^2} \over {m_e a_0^2}}

Analogamente, se consideramos as dimensões do operador energia potencial, teremos

 E_h = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{{e^2} \over {a_0}},

Se igualamos ambas as expressões, podemos obter a relação de Bohr com as outras quatro unidades

 a_0 = { {4 \pi \epsilon_0} \over {e^2}} {{\hbar^2} \over {m_e }}.

Por último, substituindo a_0 em qualquer das expressões de E_h, se obtém a definição da Hartree em termos das constantes fundamentais

 E_h = {1 \over {(4 \pi \epsilon_0)^2}}{{m_e e^4} \over {\hbar^2}}.

Algumas unidades derivadas[editar | editar código-fonte]

Unidades Atómicas Derivadas
Magnitude Expressão Valor (unidades do SI) Escala de Unidades de Planck
tempo \frac{\hbar}{E_h} 2.418 884 326 505(16)×10−17 s 10−43 s
velocidade \frac{a_0 E_h}{\hbar} 2.187 691 2633(73)×106 m s−1 108 m s−1
força \frac{E_h}{a_o} 8.238 7225(14)×10−8 N 1044 N
corrente \frac{eE_h}{\hbar} 6.623 617 82(57)×10−3 A 1026 A
temperatura \frac{E_h}{k_B} 3.157 7464(55)×105 K 1032 K
pressão \frac{E_h}{{a_o}^3} 2.942 1912(19)×1013 N m-2 10114 Pa

Comparação com as unidades de Planck[editar | editar código-fonte]

Tanto as unidades de Planck como as unidades atômicas derivam de algumas propriedades fundamentais do mundo físico, livres de considerações antropocêntricas. Para facilitar a comparação entre os dois sistemas de unidades, as tabelas anteriores mostram as ordens de magnitude, em unidades do SI, da unidade de Planck correspondente a cada unidade atômica. Geralmente, quando uma unidade atômica é "grande" em termos do SI, a coorespondente unidade de Planck é "pequena", e vice versa. Convém ter em conta que as unidades atômicas têm sido desenhadas para cálculos na escala atômica no Universo atual, enquanto que as Unidades de Planck são mais adequadas para a gravidade quântica e a cosmologia do Universo primitivo.

Tanto as "unidades atômicas" como as unidades de Planck normalizam a constante de Dirac a 1. Mais ainda, as unidades de Planck normalizam a 1 as duas constantes da relatividade geral e cosmologia: a constante gravitacional G e a velocidade da luz no vácuo, c. Se notamos por α a constante de estrutura fina, o valor de c em unidades atômicas é α−1 ≈ 137,036.

As unidades Atômicas, por outro lado, normalizam a 1 a massa e carga do elétron, e a0, o raio de Bohr do átomo de hidrogênio. Normalizar a0 a 1 implica normalizar a constante de Rydberg, R, a 4π/α = 4πc. Dado em unidades atômicas, o magnéton de Bohr seria μB=1/2, enquanto que o correspondente valor em unidades de Planck é e/2me. Finalmente, as unidades atômicas normalizam a 1 a unidade de energia atômica, enquanto que as unidades de Planck normalizam a 1 a constante de Boltzmann k, que relaciona energia e temperatura.

Mecânica e eletrodinâmica quânticas simplificadas[editar | editar código-fonte]

A equação de Schrödinger dependente do tempo (não-relativista) para um elétron em unidades do Sistema Internacional é

- \frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial }{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t).

A mesma equação em unidades atômicas é

- \frac{1}{2} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t).

Para o caso especial de um elétron em torno de um próton, o Hamiltoniano em unidades do Sistema Internacional é

\hat H = - {{{\hbar^2} \over {2 m_e}}\nabla^2} - {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}{{e^2} \over {r}},

enquanto que em unidades atômicas esta equação se transforma em

\hat H = - {{{1} \over {2}}\nabla^2} - {{1} \over {r}}.

Por último, as equações de Maxwell tomamn a seguinte forma elegante quando se expressam em unidades atômicas:

 \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
 \nabla \times \mathbf{E} = -\alpha \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
 \nabla \times \mathbf{B} = \alpha \left( \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + 4\pi \mathbf{J} \right)

(Realmente há uma ambiguidade nomomento de definir as unidades atômicas do campo magnético. As equações de Maxwell anteriores utilizam a convenção "Gaussiana", na que uma onda plana tem um campo elétrico e magnético de igual magnitude. Na convenção da "força de Lorentz", o fator α se inclui em B.)

Referências[editar | editar código-fonte]

  • H. Shull and G. G. Hall, Atomic Units, Nature, volume 184, no. 4698, page 1559 (Nov. 14, 1959)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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