Equação diferencial linear de segunda ordem

Equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem são equações que pertencem ao grupo das equações diferenciais lineares e satisfazem as duas características exigidas para tal. Para que sejam consideradas de segunda ordem estas equações devem obedecer ao seguinte formato:

$a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=r(x),$

onde, a, b, c e r são funções conhecidas, dependentes apenas da variável x.

Exemplos:

• $(x^{2}-3x)y''+xy'-(x+3)y=0$

• $2x^{2}y''+3xy'-y=7$

• $y''-7y'+12y=\cos(x)$

Existência e unicidade da solução

Teorema

Se as funções $p(x)$, $q(x)$ e $f(x)$ são contínuas em um intervalo $(a,b)$, existe uma única solução da equação linear

$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$

no intervalo (a, b), que verifica as condições iniciais $y(c)=A$ e $y'(c)=B$ para quaisquer números reais A, B e c, tal que $c\in (a,b)$.

Justificativa da linearidade

Considerando $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, e a transformação que a cada função duas vezes derivável $y=y(x)$ associa $L(y)=y''+f(x)y'+g(x)y$

Observe que se $y_{1}$ e $y_{2}$ são duas funções (duas vezes deriváveis) então

$L(y_{1}+y_{2})=(y_{1}+y_{2})''+f(x)(y_{1}+y_{2})'+g(x)(y_{1}+y_{2})$, o que resulta em:

$L(y_{1}+y_{2})=L(y_{1})+L(y_{2}).$

Se α e β pertencem a $R$ , sendo $y$ uma função $L($α $y_{1})=$ α $L(y_{1})$ e $L($ β $y_{2})=$ β $L(y_{2})$, podemos juntar os dois fatores e obter que $L$ é um operador linear

$L($α $y_{1}+$ β $y_{2})=$ α $L(y_{1})+$ β $L(y_{2}).$

Classificação

As EDOL de Segunda Ordem podem ser ainda classificadas em Homogêneas e Heterogêneas. Elas são conhecidas como Homogêneas quando a função r(x) é igual a zero e Heterogêneas caso contrário.

Exemplos de EDOL de Segunda Ordem Homogêneas

• $x(3x+2)y''+6(x+1)y'-6y=0$

• $y''-2y'+y=0$

Exemplos de EDOL de Segunda Ordem Heterogêneas

• $y''+3y'+2y=2e^{x}$

• $y''-2y'+y=xe^{x}$

• $y''+y=sen(x)$

• $y''+3y'+2y=5$

Princípio de Superposição

Se $y_{1}$ e $y_{2}$ são duas soluções de uma EDOLH (equação diferencial linear homogênea), então qualquer combinação linear

$C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ também é solução.

Demonstração: Sejam se $y_{1}(t)$ e $y_{2}(t)$ duas soluções de uma EDOLH $L(y)=0$. Então, $L(y_{1})=0$e $L(y_{2})=0$.

Da linearidade, segue que

$L(C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2})=C_{1}L(y_{1})+C_{2}L(y_{2})$,que é $C_{1}0+C_{2}0=0$.

Logo, a combinação linear $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ também é solução

Observação 1. Uma situação particular do Princípio de Superposiçãp é: se $y_{1}$ é uma solução de uma EDOLH, então qualquer múltiplo $Cy_{1}$ também o é.

Observação 2. O espaço vetorial das soluções de $L(y)=0$ tem dimensão dois, ou seja, existem duas soluções linearmente independentes $y_{1}$ e $y_{2}$ tais que qualquer solução de $L(y)=0$ é combinação destas

Métodos de Solução

Equação Diferencial Linear Homogênea

Normalmente resolvemos uma EDOL homogênea utilizando o Método de d'Alembert, no caso em que conhecemos uma das soluçoes da equações. Caso não se conheça uma das soluçoes, um dos métodos de resolução é utilizar a equação característica da equação.

Equação Diferencial Linear Não-Homogênea

Usualmente as soluções são identificadas em duas etapas:

Primeiro: encontra-se a solução da EDOL homogênea associada à determinada EDOL de Segunda Ordem Heterogênea

Segundo: busca-se a solução particular da equação heterogênea. Nesse caso pode ser utilizado o Método dos Coeficientes Constantes ou o Método da Variação de Parâmetros.

A solução geral se dará a partir da soma da solução da EDOL homogênea associada com a solução particular da EDOL heterogênea.

Ver também

• Equação diferencial
• Equação de Bernoulli
• Equação diferencial linear

Bibliografia

• Villate, Jaime. E. Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). [S.l.: s.n.] 

Ligações externas

• http://www.ime.unicamp.br/~msantos/Aula_7.pdf
• https://web.archive.org/web/20160722173626/http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edo2ord.htm