Ação de Einstein–Hilbert

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A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:[1]

onde é o determinante do tensor métrico, é o escalar de curvatura de Ricci, e , onde é a constante gravitacional de Newton e é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

Definição[editar | editar código-fonte]

A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.

Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.

Derivação das equação de campo de Einstein[editar | editar código-fonte]

Suponha que toda ação da teoria seja dada pelo termo de Einstein-Hilbert mais um termo que descreva qualquer campo de matéria que apareça na teoria.

O princípio de Hamilton então indica que a variação destas ações com respeito à métrica inversa é zero, ou seja

Já que estas equação devem obedecer qualquer variação , isto implica que

é a equação de movimento para o campo métrico. O lado direito desta equação é, por definição, proporcional ao tensor de energia-momento,

Variações do tensor de curvatura, do tensor de Ricci e do escalar de Ricci[editar | editar código-fonte]

Para calcular as variações do escalar de Ricci calcula-se primeiro a variação do tensor de curvatura e a variação do tensor de Ricci. O tensor de curvatura é definido como

Já que o tensor de curvatura depende apenas da conexão de Levi-Civita , a variação do tensor de curvatura pode ser calculado como,

Agora temos que é a diferença de duas conexões, isto é um tensor e pode-se calcular isto como derivadas convariantes,

Observa-se agora que a expressão da variação do tensor de curvatura acima é igual à diferença de ambos os termos,

Agora pode-se obter a variação do tensor de curvatura de Ricci simplesmente pela contração dos dois índices da variação do tensor de curvatura,

O escalar de Ricci é definido como

Logo sua variação com respeito a métrica inversa é obtida por

Na segunda linha utilizou-se o último resultado obtido para a variação de curvatura de Ricci e a compatibilidade métrica do convariante derivativo, .

O último termo é uma derivada total e pelo teorema de Stokes obtem-se,

Variação do determinante[editar | editar código-fonte]

A formula de Jacobi para diferenciação entre determinantes, nos dá:

ou pode-se transformar num sistema de coordenadas, onde é diagonal e então aplica-se o produto para se diferenciar os fatores da diagonal principal.

Então obtém-se

e conclui-se que

Equação de movimento[editar | editar código-fonte]

Após se calcular todas as variações acima, pode-se inferir delas a equação de movimento para campos métricos para, obtendo-se,

que é a equação de campo de Einstein e

foi escolhida porque para limites não relativísticos ela respeita a lei da gravitação universal, onde G é a constante gravitacional.

Constante cosmológica[editar | editar código-fonte]

Algumas vezes, uma constante cosmológica A é incluída na função de Lagrange então para a nova ação

onde a equação de campo

Referências

  1. Feynman, Richard P (1995). Feynman Lectures on Gravitation (em inglês) Addison-Wesley [S.l.] p. 136. 0-201-62734-5. 

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]