Propriedade de grande cardinal

Em matemática, especialmente na área da teoria dos conjuntos, uma propriedade de grande cardinal é um certo tipo de propriedade de números cardinais transfinitos. Falando intuitivamente, cardinais com tais propriedades, como o nome sugere, são muito grandes: maiores que $\aleph _{0}$ (a cardinalidade dos números naturais), maiores que $2^{\aleph _{0}}$ (a cardinalidade do contínuo), maiores que $\aleph _{\omega }$, etc.

Características

Na teoria dos cardinais transfinitos de Cantor eram considerada uma sucessão infinita de tais cardinais:

$\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\dots ,\aleph _{n},\dots ,\aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\aleph _{\omega +2},\dots ,\aleph _{\omega +\omega },\dots ,\aleph _{\omega _{_{1}}},\dots ,\aleph _{\omega _{_{2}}},\dots ,\aleph _{\omega _{\omega }},\dots$

Entretanto, já em 1908 Haussdorf questiona a existência de cardinais maiores, cardinais limites regulares, que em 1914 denomina como "cardinais exorbitantes", nome adotado por Zermelo no seu trabalho de 1930. Com o surgimento da teoria axiomática de conjuntos ZFC, essa proposta poderia assumir uma forma mais precisa como:

a) Um cardinal cuja existência não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC for consistente;

b) esse cardinal é maior que todos aqueles cuja existência possa ser demonstrada em ZFC.

Esse critério é super abundante, pois coloca muitas propriedades que podem ser muito pouco interessantes. Por exemplo, dada um propriedade $P$ de grande cardinal e sendo $\kappa$ o primeiro cardinal com essa propriedade $P$, o cardinal sucessor $\kappa ^{+}$ também teria uma propriedade de grande cardinal: ser o sucessor do primeiro cardinal com a propriedade $P$, coisa que pode resultar muito pouco interessante.

Por esse motivo, alguns autores preferem uma definição mais imprecisa, mas que atenda a critérios valorativos para ser "mais interessante". Por exemplo, ma propriedade de grande cardinal pode ser determinada pelas seguintes características:

a) Um cardinal com essa propriedade é essencialmente "maior" que cardinais com propriedades mais fracas;

b) produz consequências que tornam a teoria de conjuntos "mais forte", por exemplo, novas propriedades combinatórias.

Exemplo

Um cardinal é fortemente inacessível se ele for maior que $\aleph _{0}\,$, ele não pode ser obtido através da repetição da operação de pegar um cardinal x e computar (usando aritmética cardinal) 2^x, e se a sua cofinalidade for igual a ele mesmo, ou seja, é regular.

Mais precisamente, λ é um cardinal fortemente inacessível se:

• $\lambda >\aleph _{0}\,$
• para todo k < λ temos que 2^k < λ.
• qualquer subconjunto k de λ que satisfaça $\forall x\in \lambda ,\exists y\in k,x<y\,$ tem cardinalidade igual a λ

A existência de um cardinal fortemente inacessível é uma propriedade de grande cardinal: esse cardinal será "grande", V_λ do Universo de von Neumann, com λ inacessível, será um modelo da teoria dos conjuntos ZFC (os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha), se ZFC é consistente.

Bibliografia

• KANAMORI, A.; MAGIDOR, M. (1978). «The evolution of large cardinal axioms in set theory». In: MÜLLER, G.H.; SCOTT, D.S. Higher set theory (em inglês). Lecture Notes in Mathematics 669. Berlin: Springer. p. 99−275  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)