Movimento harmônico simples

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler

O movimento harmônico simples (MHS) é o movimento oscilatório periódico ocorrido quando a aceleração e a força resultante são proporcionais e opostas ao deslocamento. É um tipo de frequência do movimento, onde oscila a massa. É explicável por um modelo matemático para alguns movimentos vibratórios observáveis em alguns fenômenos (pêndulo ou vibração molecular).

Num modelo físico construído com molas, o movimento harmônico simples é observável em massas presas a uma mola ligada a um suporte rígido, como uma parede. Se o sistema está na posição de repouso, diz-se em equilíbrio estático. No entanto, se a massa é deslocada a partir da posição de equilíbrio, uma reposição da mesma vai ser exercida pela mola, chamada de elasticidade, seguindo assim a lei de Hooke.

Matematicamente, a força resultante F é dada a partir de $\mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,$ onde F é uma força elástica exercida por uma mola (no SI: Newton N, k na Lei de Hooke (N·m⁻¹), e x que é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (em m). Contudo, para qualquer movimento harmônico simples, determina-se que quando o sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio, uma força restauradora que obedece à lei de Hooke tende a restaurar o sistema para esse equilíbrio. Uma vez que a massa é deslocada da sua posição de equilíbrio, experimenta uma força resultante de restauração. Como resultado, ela acelera e começa a voltar à posição de equilíbrio.

Quando a massa se ​​aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui. Na posição de equilíbrio, a força resultante restaurada desaparece. No entanto, em x= 0, a força da massa não desaparece devido ao impulso da força restauradora que agiu sobre ele. Portanto, a massa continua além da posição de equilíbrio, comprimindo a mola. Então, a força resultante restaurada tende a desacelerar, até a sua velocidade desaparecer, tentando chegar novamente à posição de equilíbrio.

Dinâmica

O movimento harmônico simples mostra que no espaço real (real space) e no espaço fásico (phase space) a órbita é periódica (aqui a velocidade e a posição dos eixos foi revertida a partir da convenção padrão, a fim de alinhar os dois diagramas).

A posição, a velocidade e a aceleração de uma oscilação harmônica

Para o movimento harmônico simples unidimensional, a equação dos movimentos é aplicada à segunda lei linear com uma equação diferencial ordinária com seus coeficientes constantes, a partir da segunda lei de Newton e da lei de Hooke.

$F_{net}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,$

onde m é a massa inercial com a oscilação do corpo, x é o vetor de deslocamento para o equilíbrio estático e k é a constante elástica, sendo:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\left({\frac {k}{m}}\right)x$

Abaixo, uma resolução da equação diferencial, obtendo-se um senoide como solução:

A posição, a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples e as suas fases

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),$ onde

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},$

$A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},$

$\tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),$

Na solução, c₁ e c₂ são duas constantes determinadas nas condições iniciais e a sua origem está levando a uma posição de equilíbrio. Cada uma destas constantes leva a um padrão físico ao movimento: A é a amplitude (deslocamento máximo da posição de equilíbrio), $\omega =2\pi f$ é a sua frequência angular, e φ é uma fase. Usando as técnicas do cálculo diferencial, a velocidade e a aceleração têm uma das seguintes funções de tempo:

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \operatorname {sen}(\omega t-\varphi ),$

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).$

A aceleração pode ser expressado pela função de deslocamento:

$a(x)=-\omega ^{2}x.\!$

Já que $\omega =2\pi f$,

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},$

e que T = 1/f onde T é o período de tempo,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.$

Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isócrono (o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento).

Energia

A energia cinética K de um sistema em função do tempo t é:

$K(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\omega t-\varphi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\operatorname {sen} ^{2}(\omega t-\varphi ),$

e a energia potencial é:

$U(t)={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).$

A adição entre a energia cinética e potencial no cálculo da energia mecânica é medida por:

$E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}.$.

Aplicações

Abaixo tem alguns exemplos de sistemas que usam o movimento harmônico simples:

Massa na mola sob ação da gravidade

Um sistema de massa-mola não-amortecida passa por um movimento harmônico simples.

Considere um bloco de massa m equilibrado por uma mola constante k sob ação da gravidade. Na situação de equilíbrio, a força gravitacional e a força elástica se igualam. Matematicamente, $k(y-y_{0})=-mg$, onde $y_{0}$ é a posição natural da mola e $g$ é a aceleração devido à gravidade. Note que $y=y_{0}$ se $g=0$ conforme se espera. Assim, a posição de equilíbrio se desloca por uma distância $mg/k$.

O que ocorre quando o sistema é deliberadamente retirado da posição de equilíbrio e depois abandonado? A força exercida pela mola atua no sentindo de restaurar à posição natural: assim o objeto oscila verticalmente. Pela segunda lei de Newton podemos escrever

$m{\ddot {y}}=-mg-k(y-y_{0})$

onde ${\ddot {y}}$ é a aceleração (vertical) da mola e $y_{0}$ é a posição natural (onde a força restauradora é nula). A força gravitacional sempre em direção ao solo enquanto a força da mola só aponta para o solo se $y>y_{0}$.

Podemos simplificar através de uma mudança de variável. Seja $kY=mg+k(y-y_{0})$, então a segunda derivada (aceleração) é ${\ddot {Y}}={\ddot {y}}$, pois todos os demais termos são constantes. Assim, a equação se transforma na equação do movimento harmônico simples:

$m{\ddot {Y}}=-kY$.

Nesta variável o movimento é harmônico simples com período $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$. Desta maneira, evidencia-se que o período de oscilação é independente tanto da amplitude quanto da aceleração gravitacional. Vamos supor que as condições iniciais sejam tais que

$Y(t)=Y(0)\cos(\omega t)$,

onde $Y(0)$ é a amplitude e $w=2\pi /T$ é a frequência angular da oscilação. Para saber como o bloco se desloca no mundo físico devemos voltar para a variável inicial $y(t)$. Assim

$y(t)=Y(t)+{\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}=Y(0)\cos(\omega t)+{\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}$

é a equação de movimento de um bloco oscilando devido à força elástica de uma mola sob ação da gravidade.

A conclusão é que (1) o movimento tem o mesmo período independente da amplitude e da gravidade, e (2) o bloco oscila com amplitude $Y(0)$, mas entre os pontos $y_{max}={\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}+Y(0)$ e $y_{min}={\biggl (}y_{0}-{\frac {mg}{k}}{\biggr )}-Y(0)$.

Movimento circular uniforme

O movimento harmônico simples pode ser muitas vezes considerado como uma projeção matemática do movimento circular uniforme. Se um objeto se movimenta com uma velocidade angular ω ao redor de um círculo de um raio r centralizado de uma origem de um plano de x-y, este movimento é em cada coordenada um movimento simples harmônico com uma amplitude r e uma frequência angular ω.

Pêndulo simples em regime de pequenas oscilações

O movimento de um pêndulo não-amortecida aproxima para o movimento simples harmônico se a amplitude é muito pequena relativo do comprimento L da haste.

Considere um objeto preso a uma haste inextensível oscilando sob ação da força gravitacional. A este sistema denominamos Pêndulo Simples. De maneira geral, atuam sob o objeto a força $T$ de tração da haste, que o mantém oscilando em um arco de círculo a uma distância fixa $L$ do ponto fixo que prende a haste ao teto; e também a força gravitacional $mg$. Decompomos a força gravitacional de forma que conhecemos a componente na direção da força de tração, que nos fornece $T=mg\cos(\theta )$, e também a componente responsável pelo movimento

$F=-mg\sin(\theta )$

Assim, a força restaura o objeto para a situação de ângulo nulo, $\theta =0$, mas o problema se torna mais difícil por tratar com uma função trigonométrica.

Iremos então tomar um caso especial, a situação de pequenos ângulos. Neste caso, $\sin(\theta )\approx \theta$ e eliminamos a função trigonométrica. Note que a distância horizontal é dada por $x=L\sin(\theta )\approx L\theta$ de forma que neste regime (e apenas neste regime), podemos escrever:

$F=-mg\theta =-{\biggl (}{\frac {mg}{L}}{\biggr )}x$.

Compare esta expressão à Lei de Hooke. Um pêndulo simples é equivalente a um oscilador linear. A constante $k$ de reconstituição seria igual à $mg/L$. Substituindo o valor de $k$ na fórmula do período de um movimento harmônio simples se obtém

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{mg/L}}}$,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$.

Resumidamente, para deduzir a equação do período, estabelece-se que o ângulo θ descrito pelo pêndulo de sua posição de repouso até sua amplitude máxima seja menor que 10°, assim é possível aproximar o valor do ângulo com seu seno.

Reescrevendo as equações do movimento harmônico simples para torná-las mnemônicas

Aplicação	Variáveis	Fórmula
Massa na mola	$K,m$	$K=m\omega ^{2}$
Aceleração centrípeta	$a,A$	$a=A\omega ^{2}$
Pêndulo	$g,L$	$g=L\omega ^{2}$
Oscilador LC	$L,C$	$1=LC\omega ^{2}$
Oscilador RLC paralelo	$R,L,C$	$1=LC\left(\omega ^{2}+\left({\frac {R}{2L}}\right)^{2}\right)$
	$R,L,C$	$\omega ^{2}={\frac {1}{LC}}-\left({\frac {R}{2L}}\right)^{2}$

Ver também

• Dinâmica
• Pêndulo
• Movimento circular uniforme
• Movimento harmônico (física)