Número real

 Nota: Para outros significados de Real, veja Real.

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Conjuntos Numéricos.

O conjunto dos números reais $\mathbb {R} \,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero, os positivos e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Um Número Real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, incluindo tanto os Números Racionais quanto os Números Irracionais. Os números reais são pontos sobre uma linha reta infinita, chamada de Reta Numérica ou Reta Real, onde os pontos correspondentes aos Números Inteiros são igualmente espaçados.

Os números reais são incontáveis, isto é, enquanto que o conjunto de todos os Números Naturais e o conjunto de todos os Números Reais são conjuntos infinitos, não é possível haver função de um-pra-um entre eles. A cardinalidade do conjunto de todos os Números Reais é infinitamente maior do que a cardinalidade do conjunto de todos os Números Naturais.

Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros números racionais , a coleção de elementos dos números irracionais e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada.

Subconjuntos de $\mathbb {R}$

Como o conjunto dos números reais é formado por todos os números de representações decimal (exatas, periódicas, não decimais e não periódicas), os conjuntos anteriores (naturais, inteiros, racionais e irracionais) são subconjuntos de $\mathbb {R}$ .

Além destes, temos ainda:

• $\mathbb {R} \ _{+}$ - conjunto dos reais não negativos
• $\mathbb {R} \ _{-}$ - conjunto dos reais não positivos
• $\mathbb {R} \ ^{*}$ - conjunto dos reais não nulos

Localização geométrica dos pontos da reta

Os números reais podem ser pensados nos pontos de uma reta numérica infinita

Um eixo cartesiano uma reta euclidiana na qual foram escolhidas uma orientação e uma unidade de medida, ou seja, é formado por uma reta euclidiana $r$, e pela escolha de dois pontos distintos sobre ela, denotados por $O$ e $U$, sendo $O$ a origem do eixo e $U$ o ponto unitário do eixo. O ponto $U$ serve para determinar uma unidade de medida para os segmentos de reta do eixo, e também determina um sentido de percurso para o segmento. O sentido de percurso do eixo que vai de $O$ para $U$ ($OU$) é chamado de sentido positivo, enquanto que o sentido oposto ($U$$O$), é chamado de sentido negativo. Observação: Denotando por $(r,O,U)$ o eixo determinado pela reta $r$, pela origem $O$ e pelo ponto unitário $U$, fia subentendido que isto determina $OU$ como unidade de medida.

Ordenação dos números reais

Vamos comparar os números reais ${\sqrt {2}}$ e ${\sqrt {2,1}}$. Escrevendo na forma decimal:

${\sqrt {2}}=1.41421356237$

${\sqrt {2,1}}=1.44913767462$

Comparemos cada número da expansão decimal:

• Parte inteira:$1=1$
• Décimos: $4=4$
• Centésimos: $1<4$

Logo, ${\sqrt {2}}<{\sqrt {2,1}}$

A expansão decimal de um número absoluto nos diz até quantas unidades, décimos, centésimos, etc., cabem no mesmo. Em particular, dado um real absoluto $x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...$, podemos escrever:

$\qquad$$m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}\leq x\leq m,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}+{1 \over 10^{n}}$

Assim, pode-se dizer que a definição da expansão decimal traz uma relação de ordem entre o real absoluto $x$ e os números racionais que se obtém truncando sua expansão decimal. Isso permite estabelecer uma relação de ordem entre dois reais absolutos quaisquer, a partir da comparação entre as respectivas expansões decimais.

Assim, dados dois números reais absolutos distintos, $x$ e $y$, escrevemos suas expansões decimais:

$\qquad$$x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...$

$\qquad$$y=n,b_{1}b_{2}b_{3}...$

Para definirmos quem é o maior numero entre $x$ e $y$, iniciamos comparando $m$ com $n$.

• Se $m<n$, então sabemos que $x$ é menor que $y$, ou seja, $x<y$
• Se $n<m$, então sabemos que $y$ é menor que $x$, ou seja $y<x$
• Se $m=n$, estão é necessário comparar $a_{1}$ com $b_{1}$. Se $a_{1}<b_{1}$, então $x<y$, e se $b_{1}<a_{1}$, então $y<x$.

No caso de $a_{1}=b_{1}$, ou seja, $m=n$ e $a_{1}=b_{1}$, compara-se $a_{2}$ com $b_{2}$, aplicando os mesmos critérios anteriores, sucessivamente até chegar a uma conclusão $a_{n}\neq b_{n}$, caso $x\neq y$.

Adição e multiplicação nos $\mathbb {R}$

Para trabalhar com as operações da soma e multiplicação nos reais, usaremos um processo de aproximação de acordo com a quantidade de casas decimais que queremos desenvolver a conta, pois, caso trabalharmos com irracionais, a expansão decimal é infinita e não periódica. Quanto maior a quantidade de casas, mais próximo do resultado real. O processo do cálculo é idêntico às operações dos números decimais.

Adição de números reais

Adição de reais positivos

Dados $x$ e $y$ números reais positivos, com expansões decimais

$\qquad$$x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...$

$\qquad$$y=M,b_{1}b_{2}b_{3}...$

sejam, para cada $n\geq 1$, os números racionais

$\qquad$$x_{n}=m,a_{1},a_{2}...a_{n}$ e $y_{n}=M,b_{1},b_{2}...b_{n}$.

A adição dos números reais $x$ e $y$ produz uma soma, denotada por $x+y$, e definida como sendo o único número real comum a todos elementos da sequência de intervalos encaixantes e evanescentes:

$\qquad$$[x_{n}+y_{n},x_{n}+y_{n}+{2 \over 10^{n}}]$

Essa definição nos fornece aproximações racionais de $x+y$ tão precisas quanto quisermos. Basta notar que $x_{n}+y_{n}$ e $x_{n}+y_{n}+{2 \over 10^{n}}$ são aproximações racionais ,por falta e por excesso, do número real $x+y$, e que o "erro" pode ser menor o quanto quisermos.

Adição de reais negativos

A adição de dois números reais negativos produz uma soma $x+y$ que é obtida por meio da adição dos módulos de $x$ e $y$:

$\qquad$$x+y=-(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )$

Por exemplo, para $x=-2,79323189$ e $y=-13,83452153$:

$\qquad$$\quad$$x+y=-(\left\vert -2,79323189\right\vert +\left\vert -13,83452153\right\vert )$

$\qquad$$\Rightarrow$$x+y=-(2,79323189+13,83452153)$

$\qquad$$\Rightarrow$$x+y=-16,62775342$

Adição de reais de sinais opostos

Dados $x$ um número real positivo e $y$ um número real negativo, com expansões decimais:

$\qquad$$x=m,a_{1}a_{2}a_{3}...$

$\qquad$$y=-M,b_{1}b_{2}b_{3}...$

Sejam os números racionais:

$\qquad$$x_{n}=m,a_{1}a_{2}...a_{n}$ e $\left\vert y\right\vert _{n}=M,b_{1}b_{2}...b_{n}$

A adição de um número real positivo $x$ e o real negativo $y$ produz uma soma, denotada por $x+y$, e definida como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

$\qquad$${\Biggl [}x_{n}-\left\vert y\right\vert _{n}-{1 \over 10^{n}},x_{n}-\left\vert y\right\vert _{n}+{1 \over 10^{n}}{\Biggr ]}$

Exemplo:

Ao somar $1,222...+(-2,111)$, obtemos:

$\qquad$$x_{1}-\left\vert y\right\vert _{1}=1,2-2,1=-0,9\Rightarrow [-1,0;-0,8]$

$\qquad$$x_{2}-\left\vert y\right\vert _{2}=1,22-2,11=-0,89\Rightarrow [-0,90;-0,88]$

$\qquad$$x_{3}-\left\vert y\right\vert _{3}=1,222-2,111=-0,889\Rightarrow [-0,890;-0,888]$

$\qquad$$x_{4}-\left\vert y\right\vert _{4}=1,2222-2,1110=-0,8888\Rightarrow [-0,8889;-0,8887]$

e prosseguindo semelhantemente, temos uma sequência encaixante e evanescente.

Multiplicação de números reais

Multiplicação de reais positivos

Dados $x$ e $y$ números reais positivos, com expansões decimais

$\qquad$$x=m,a_{1}a_{2}...$

$\qquad$$y=M,b_{1}b_{2}...$

Seja, para cada$n\geq 1$, os números racionais

$x_{n}=m,a_{1}a_{2}...a_{n}$ e $y_{n}=M,b_{1}b_{2}...b_{n}$

A multiplicação dos números $x$ e $y$ produz um resultado chamado produto, denotado por $x\centerdot y$, é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

${\Bigl [}x_{n}y_{n},{\Bigl (}x_{n}+{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigl (}y_{n}+{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigr ]}$

Exemplo:

$\qquad$$7\centerdot {\frac {3}{7}}=3$

$\qquad$$x_{1}y_{1}=7,0\centerdot 0,4=2,8$ e $7,1\centerdot 0,5=3,55\Rightarrow [2,8;3,55]$

$\qquad$$x_{2}y_{2}=7,00\centerdot 0,42=2,94$ e $7,01\centerdot 0,43=3,0143\Rightarrow [2,94;3,0143]$

$\qquad$$x_{3}y_{3}=7,000\centerdot 0,428=2,996$ e $7,001\centerdot 0,429=3,003429\Rightarrow [2,996;3,003429]$

$\qquad$$x_{4}y_{4}=7,0000\centerdot 0,4285=2,9995$ e $7,0001\centerdot 0,4286=3,00024286\Rightarrow [2,9995;3,00024286]$

Multiplicação por real negativo

Dados $x$ e $y$ dois números reais, sendo ao menos algum deles negativo

$\qquad$$x=m,a_{1}a_{2}...$

$\qquad$$y=M,b_{1}b_{2}...$

O produto $x\centerdot y$ é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente,

${\Bigl [}x_{n}y_{n},{\Bigl (}x_{n}+{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigl (}y_{n}-{1 \over 10^{n}}{\Bigr )}{\Bigr ]}$

segundo as seguintes possibilidades lógicas:

• Se $x\geq 0$ e $y<0$, temos: $x\centerdot y=-(x\centerdot |y|)$
• Se $x<0$ e $y\geq 0$, temos: $x\centerdot y=-(|x|\centerdot y)$
• Se $x<0$ e $y<0$, temos: $x\centerdot y=|x|\centerdot |y|$

Exemplo:

$\qquad$$7\centerdot {\Bigl (}-{\frac {3}{7}}{\Bigr )}=-3$

$\qquad$$x_{1}y_{1}=7,0\centerdot (-0,4)=-2,8$ e $7,1\centerdot (-0,5)=-3,55\Rightarrow [-2,8;-3,55]$

$\qquad$$x_{2}y_{2}=7,00\centerdot (-0,42)=-2,94$ e $7,01\centerdot (-0,43)=-3,0143\Rightarrow [-2,94;-3,0143]$

$\qquad$$x_{3}y_{3}=7,000\centerdot (-0,428)=-2,996$ e $7,001\centerdot (-0,429)=-3,003429\Rightarrow [-2,996;-3,003429]$

$\qquad$$x_{4}y_{4}=7,0000\centerdot (-0,4285)=-2,9995$ e $7,0001\centerdot (-0,4286)=-3,00024286\Rightarrow [-2,9995;-3,00024286]$

Estrutura de corpo nos $\mathbb {R}$

Os reais podem assumir a estrutura de corpo e de corpo ordenado.

Estrutura de corpo de $[\mathbb {R} ,+,\cdot ]$

O campo dos números reais, $[\mathbb {R} ,+,\cdot ]$, tem o seguinte conjunto de propriedades básicas que lhe dão uma estrutura de corpo. Para todos os $x,y,z\in \mathbb {R}$

• As operações $+$ (adição) e $\cdot$ (multiplicação) são fechadas em todo o $\mathbb {R}$

$x+y\in \mathbb {R}$ [a operação adição é fechada]

$x\cdot y\in \mathbb {R}$ [a operação multiplicação é fechada]

• Associatividade das operações

$x+(y+z)=(x+y)+z$ [Associatividade da adição]

$x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$ [Associatividade da multiplicação]

• Existência de elemento neutro:

$x+0=0+x=x$ [0 é o elemento neutro da adição]

$x\cdot 1=1\cdot x=x$ [1 é o elemento neutro da multiplicação]

• Existência de inverso

$\exists x'$ tal que $x+x'=0$. Com efeito: $x'=-x$ [$-x$ é o simétrico de $x$]

Sendo $x\neq 0,\exists x^{-1}\in \mathbb {R}$ tal que $x\cdot x^{-1}=1$ [$x^{-1}$ é o recíproco de $x$]

• Comutatividade das operações

$x+y=y+x$ [Comutatividade da adição]

$x\cdot y=y\cdot x$ [Comutatividade da multiplicação]

• Distributividade da multiplicação

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ [Distributividade da multiplicação]

A partir disso, temos os seguintes resultados:

1. $0x=0$
2. $(-x)y=-(xy)$
3. $(-x)(-y)=xy$
4. $x+y=x;\forall x\Rightarrow y=0$ [unicidade do zero]
5. $xy=x;\forall x\Rightarrow y=1$ [unicidade da unidade]
6. $x+y=0\Rightarrow y=-x$ [unicidade do simétrico]
7. $xy=1\Rightarrow y=x^{-1}$ [unicidade do recíproco]
8. $x+z=y+z\Rightarrow x=y$ [lei do cancelamento da adição]
9. $z\neq 0;xz=yc\Rightarrow x=y$ [lei do cancelamento da multiplicação]
10. $x\neq 0;y\neq 0\Rightarrow xy\neq 0$ [integridade da multiplicação]

Estrutura de corpo de $[\mathbb {R} ,+,\cdot ,<]$

O campo $[\mathbb {R} ,+,\cdot ,<]$ tem a estrutura de corpo ordenado, ou seja, é um corpo no qual existe uma relação de ordem que verifica as duas seguintes propriedades. Sendo $x,y,z\in \mathbb {R}$:

1. $x<y\Leftrightarrow x+z<y+z$ [compatibilidade da ordem com a adição]
2. $x<y\Leftrightarrow xz<yz,\forall z>0$ [compatibilidade da ordem com a multiplicação]

Além disso, temos que:

• A relação de ordem é preservada na adição:

$x\leq y\Leftrightarrow x+z\leq y+z$

$x<y\Leftrightarrow x+z<y+z$

• A relação de ordem é preservada na multiplicação por reais positivos:

$x\leq y\Leftrightarrow xz\leq yz;\forall z>0$

$x<y\Leftrightarrow xz<yz;\forall z>0$

• A relação de ordem é invertida na multiplicação por reais negativos

$x\leq y\Leftrightarrow xz\geq yz;\forall z<0$

$x<y\Leftrightarrow xz>yz;\forall z>0$

Densidade no campo dos $\mathbb {R}$

Chamamos de denso um conjunto C de números reais em $\mathbb {R}$ se, e somente se, entre cada par de elementos distintos de números reais, existe pelo menos um intermediário que também esteja em C.

Entre cada par de números reais existe ao menos um intermediário que é número racional. Ou seja, $\mathbb {Q}$ é denso em $\mathbb {R}$.

Também podemos afirmar que entre cada par de números reais existe ao menos um intermediário que é número irracional. Ou seja, $\mathbb {I}$ é denso em $\mathbb {R}$. .

Propriedades

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, $\mathbb {R} \,$ tem a seguinte propriedade:

• Se $\mathbb {R} \,$ for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

$\forall A,B,(\mathbb {R} =A\cup B\land (\forall a\in A,b\in B,(a<b))\implies (\exists x,(\forall a\in A,b\in B\implies a\leq x\leq b))\,$

Nas palavras de Dedekind:

Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

Formalmente:

$\forall A,B\ ((\forall x\ ((x\in A\land x\not \in B)\lor (x\in B\land x\not \in A))\ \land \ \forall x\in A\ \forall y\in B\ (x\leq y))\rightarrow \,$

$(\exists z\in A\ \forall w\in A(w\leq z)\lor \exists z\in B\ \forall w\in B(z\leq w)))\,$

Extensões

• O corpo dos números complexos é a única extensão algébrica do corpo $\mathbb {R} \,$.
• Não existe nenhuma extensão própria de $\mathbb {R} \,$ que seja um corpo Arquimediano.
• Uma extensão transcendente de $\mathbb {R} \,$ pode ser construída tomando-se o corpo de frações gerado pelo anel de polinômios reais. Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, de forma que a inclusão de $\mathbb {R} \,$ neste corpo seja um isomorfismo de corpos ordenados entre $\mathbb {R} \,$ e sua imagem. Obviamente, neste corpo existem elementos maiores que qualquer racional, cujos inversos são números positivos menores que qualquer racional positivo (infinitésimos).
• O corpo ordenado dos números hiperreais estende $\mathbb {R} \,$, incluindo números infinitesimais.
• Pode-se acrescentar os dois elementos $-\infty {\mbox{ e }}\infty \ {\mbox{ a }}\mathbb {R} \,$, obtendo-se os números reais estendidos. Este conjunto, porém, não é um corpo, porque a soma e a multiplicação não são operações binárias (por exemplo, não existe uma definição satisfatória de $[(-\infty )+\infty \,$].

Bibliografia

• Wikilivros

• Georg Cantor, 1874, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, volume 77, páginas 258–262.
• Solomon Feferman,1989, The Numbers Systems: Foundations of Algebra and Analysis, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-2915-7.
• Robert Katz, 1964, Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Edmund Landau, 2001, ISBN 0-8218-2693-X, Foundations of Analysis, American Mathematical Society.
• Howie, John M., Real Analysis, Springer, 2005, ISBN 1-85233-314-6
• Schumacher, Carol (1996). ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 0-201-82653-4