Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).]] O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

“ Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. ”

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

“ Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos. ”

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar

$c^{2}=b^{2}+a^{2},$

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Fórmula e corolários

Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado:

$c={\sqrt {b^{2}+a^{2}}},$     $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$   e  $a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.$

Outro corolário do teorema é que:

“ Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles. ”

maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

Demonstrações

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras. O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes. Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides. E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield. O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas

1. Desenha-se um quadrado de lado $b+a;$
2. De modo a subdividir este quadrado em quatro retângulos, sendo dois deles quadrados de lados, respectivamente, a e b: Traça-se dois segmentos de reta paralelos a dois lados consecutivos do quadrado, sendo cada um deles interno ao quadrado e com o mesmo comprimento que o lado do quadrado;
3. Divide-se cada um destes dois retângulos não quadrados em dois triângulos retângulos, traçando-se as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
4. A área da região que resta ao retirar-se os quatro triângulos retângulos é igual a $b^{2}+a^{2};$
5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado $b+a,$ mas coloca-se os quatro triângulos retângulos noutra posição dentro do quadrado: a posição que deixa desocupada uma região que é um quadrado de lado $c^{2}.$
6. Assim, a área da região formada quando os quatro triângulos retângulos são retirados é igual a $c^{2}.$

Como $b^{2}+a^{2}$ representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e $c^{2}$ representa a mesma área, então $b^{2}+a^{2}=c^{2}$. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Por semelhança de triângulos

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também, marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

${\frac {a}{c}}={\frac {e}{a}}{\mbox{ e }}{\frac {b}{c}}={\frac {d}{b}}.$

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.

Estas relações podem ser escritas como:

$a^{2}=c\times e{\mbox{ e }}b^{2}=c\times d.$

Somando estas duas igualdades, obtém-se

$a^{2}+b^{2}=c\times e+c\times d=c\times (d+e)=c^{2},$

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\ .$

Uma variante ==== Usando a mesma figura da demonstração acima, após ser mostrado que ΔABC, ΔACH e ΔCBH são semelhantes, pode-se demonstrar o teorema de Pitágoras usando-se o fato de que "a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados correspondentes", da seguinte forma: Chamando-se a área de ΔABC de x, a área de ΔACH é x*(b/c)², e a área de ΔCBH é x*(a/c)² (pois c, b e a são as hipotenusas de ΔABC, ΔACH e ΔCBH, respectivamente). Então, como a área do triângulo inteiro é a soma das áreas dos dois triângulos menores, tem-se x*(a/c)² + x*(b/c)² = x, então (a/c)² + (b/c)² = 1, então a² + b² = c².

Demonstração de Bhaskara

A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:

$c^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+(b-a)^{2}$

Logo:

$c^{2}=2ab+b^{2}-2ba+a^{2}$ (o termo (b-a)² é um produto notável)

$c^{2}=b^{2}+a^{2}\ .$ (por comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)

Por cálculo diferencial

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.

Demonstração que usa equações diferenciais.

Como resultado da mudança da no lado a,

${\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}$

por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,

$c\,dc=a\,da$

por separação de variáveis.

que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.

Pela integração, segue:

$c^{2}=a^{2}+\mathrm {constante} .$

Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b². Logo,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Num espaço com um produto interno

Pode-se estender o teorema de Pitágoras a espaços com produto interno e com uma norma induzida por este. Nessa situação:

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .$

Dois vetores x e y são ditos perpendiculares se:

$\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle =0.$

Segue então:

$\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},$

que é o teorema de Pitágoras.

Pelo rearranjo das partes

Demonstração pelo rearranjo de quatro triângulos retângulos idênticos.

Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que a² + b² = c².

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c ² tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a ² e b ², mostrando que c ² = a ² + b ².

Recíproca

O "triângulo egípcio", de medidas 3, 4, 5, e, portanto, um triângulo retângulo.

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira:

"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

“ Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto. ”

Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.

Consequências e usos

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Na geometria cartesiana, muito usada em ciências e engenharia, todos os cálculos que envolvem relações espaciais e trigonometria têm como base este teorema. É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos em triângulos e esses em triângulos retângulos. E por extensão, em todos os poliedros.

A diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo $l$ o lado e $d$ a diagonal, segue que:

$d^{2}=l^{2}+l^{2}=2\,l^{2}.$

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

$d={\sqrt {2\,l^{2}}}=l{\sqrt {2}}.$

A altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo $l$ o lado e $h$ a altura, segue que:

$l^{2}=h^{2}+\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}=h^{2}+{\frac {l^{2}}{4}}$

$h^{2}={\frac {3\,l^{2}}{4}}.$

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrada como:

$h={\sqrt {\frac {3\,l^{2}}{4}}}={\frac {l{\sqrt {3}}}{2}}.$

A diagonal do cubo

AC' (em azul) é uma diagonal do cubo, enquanto AC (em vermelho) é uma diagonal de uma de suas faces.

Seja a a medida de sua aresta (medida de um lado de uma face quadrada)

$AC^{2}=a^{2}+a^{2}.$ (I)

Também pelo teorema de Pitágoras tem-se que:

$AC'^{2}=a^{2}+AC^{2}.$ (II)

De I e II:

$AC'^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}.$

Então:

$AC'={\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {3}}a.$

Identidade trigonométrica fundamental

Ver artigo principal: Identidade trigonométrica fundamental

$\mathrm {sen} \,\theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.$

Disso, segue que:

${\cos }^{2}\theta +{\mathrm {sen} \,}^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,$

Ternos pitagóricos

Ver artigo principal: Terno pitagórico

Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos a, b, e c, tais que a ² + b ² = c ². Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como (a, b, c ). Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos (o máximo divisor comum de a, b e c é 1).

Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Números irracionais como comprimento

Espiral de Teodoro

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentos incomensuráveis (ou seja, cuja razão é um número irracional, tal como a raiz quadrada de 2), podem ser construídos, com instrumentos como régua e compasso. Um triângulo retângulo com ambos os catetos iguais a uma unidade tem uma hipotenusa de comprimento igual a raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais a raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

Distância entre dois pontos

Ver artigo principal: Geometria analítica

O teorema de Pitágoras pode ser traduzido para a linguagem das coordenadas de Descartes:

Seja $A=(x_{1},y_{1})$ e $B=(x_{2},y_{2}).$ Para auxiliar, seja $C=(x_{2},y_{1}).$

Como A e C possuem mesma ordenada, $d(A,C)=\left|x_{1}-x_{2}\right|.$

Como B e C possuem mesma abcissa, $d(B,C)=\left|y_{1}-y_{2}\right|$

Então $d(A,B)={\sqrt[{}]{d(A,C)^{2}+d(B,C)^{2}}}={\sqrt[{}]{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$

Generalizações

Lei dos cossenos

Ver artigo principal: Lei dos cossenos

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta },$

onde θ é o ângulo entre os lados a e b. Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Teorema de Gua

Ver artigo principal: Teorema de Gua

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro retângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Figuras semelhantes nos três lados

O teorema de Pitágoras foi generalizado por Euclides em seu livro Os Elementos para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:

“ Erguendo-se figuras semelhantes nos lados de um triângulo retângulo, então a soma das áreas das duas menores é igual à área da maior. ”

Nas geometrias esférica e hiperbólica

Um triângulo esférico

Um triângulo hiperbólico

O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, e de fato, a versão euclidiana não é válida nas geometrias não euclidianas. (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente ao postulado das paralelas). Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma. Por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

• Na geometria esférica, tem-se

  $\cos(c)=\cos(a)\cos(b).$

• Na geometria hiperbólica tem-se

  $\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b).$

História

A tabuleta Plimpton 322 registra ternos pitagóricos.

Ilustração do livro Chou Pei Suan Ching, que sugere uma demonstração do teorema para um triângulo específico (de lados 3, 4 e 5).

A história do teorema pode ser dividida em quatro partes: o conhecimento de trios pitagóricos, conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo, conhecimento das relações entre ângulos adjacentes, e demonstrações do teorema dentro de sistemas dedutivos.

O historiador da matemática alemão Moritz Cantor, tomando por base que 3² + 4² = 5² era conhecido dos egípcios e que eles usavam cordas em agrimensura, especulou que eles construíam ângulos retos por meio de um uma corda com nós para formar um triângulo de lados 3, 4 e 5. Bartel van der Waerden afirmou que não há evidências que sustentem esta especulação, visão compartilhada por Thomas Little Heath.

Há provas que os antigos babilônios já conheciam o teorema muito antes de Pitágoras. Tabletes de barro do período de 1800 a 1600 a.C. foram encontrados e estudados, estando hoje em vários museus. Um deles, Plimpton 322, mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, ilustrando trios pitagóricos.

Na China, o teorema também já era conhecido cerca de 600 anos antes do período Pitagórico. O problema "Gou Gu", do famoso livro chinês Zhoubi Saunjing é uma evidência da existência de conhecimento a respeito do teorema.

Ver também

• Triângulo
• Trigonometria
• Teorema
• Perpendicularidade
• Álgebra
• Terno pitagórico

• Área
• Geometria
• Terno pitagórico
• Último teorema de Fermat
• Número irracional
• Regra do paralelogramo

Ligações externas

• Demonstração do teorema de Pitágoras (segundo Euclides)
• «Pythagorean Theorem and its many proofs» (em inglês). O teorema de Pitágoras e suas muitas demonstrações, no Cut-the-Knot. 
• Geometria Analítica e Desenho Geométrico, Unicamp: Teorema de PitágorasIntrodução, a demonstração de Da Vinci, e História do teorema.