Função sinc

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Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por sinc (x) e às vezes como Sa (x), tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:[1]

\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.\,\!

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os x é 1. A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.[2]

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por[3]

\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}.\,\!

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite 1. A função sinc é analítica em toda parte.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de x = -6\pi~a~6\pi.

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de \pi; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, \frac{sen(\xi)}{\xi} = cos(\xi) para todos os \xi onde a derivada de \frac{sen(x)}{x} é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!

e está relacionada à função gama \Gamma(x) pela fórmula de reflexão de Euler:

\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}.\,\!

Euler descobriu que[4]

\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right).

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect(f),

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \mathrm{rect}(f),\,\!

onde a função retangular é 1 para argumentos entre -\frac{1}{2}~e~\frac{1}{2}, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1\,\!

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty.

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

  • É uma função de interpolação, ou seja, sinc(0) = 1, e sinc(k) = 0 para k inteiros e não-nulos.
  • As funções x_k(t) = sinc(t-k) formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções L^2(R), cuja maior frequência angular é \omega_H = \pi (isto é, o ciclo de frequência mais alto é f_H = \frac{1}{2}).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

  • O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, \scriptstyle j_0(x). O sinc normalizado é \scriptstyle j_0(\pi x) ..
  •  \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x) \,\!
onde Si(x) é o seno integral.
  • \lambda \cdot sinc(\lambda x) (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear
x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.\,\!
A outra solução é \frac{cos(\lambda  x)}{x}, que diverge em x = 0, ao contrário da função sinc.
  •  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \,\! \rightarrow \int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}^2(x)\,dx = 1.

onde o sinc normalizado é significativo.

  •  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} \,\!
  •  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} \,\!

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), Numerical methods, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248 (em inglês)
  2. M. J. Roberts, Fundamentos de Sinais e Sistemas, McGraw Hill Brasil ISBN 8-563-30857-2
  3. Alfredo Julio Fernandes Neto, Flávio Domingues das Neves, Paulo Cézar Simamoto Junior, Fundamentos de Circuitos Elétricos - 5ed , AMGH Editora, 2013 ISBN 8-580-55173-0
  4. Euler, Leonhard, On the sums of series of reciprocals Bibcode2005math......6415E (em inglês)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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