Polígono

Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada: por exemplo, o hexágono é um polígono de seis lados.

A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).

A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que estas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.

Linhas poligonais e polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (arestas ou lados), cujos vértices são formados por duas arestas. Um polígono simples divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), isto é, bidimensional (eixo do "X" e do "Y"), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

Lados

Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:

$\overline{A B},$ $\overline{B C},$ $\overline{C D},$ $\overline{D E},$ $\overline{E A}.$

Vértices

Ponto de encontro dos segmentos:

$A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E.$

Diagonais

Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:

$\overline{A C},$ $\overline{A D},$ $\overline{B D},$ $\overline{B E},$ $\overline{C E}.$

Ângulos internos

Ângulos formados por dois lados consecutivos:

$\hat a,$ $\hat b,$ $\hat c,$ $\hat d,$ $\hat e$

Ângulos externos

Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:

$\hat a_1,$ $\hat b_1,$ $\hat c_1,$ $\hat d_1,$ $\hat e_1.$

Classificação

Diferentes tipos de polígonos

Quanto ao número de lados

Os polígonos são classificados principalmente pelo número de lados, consulte a nomenclatura dos polígonos mais adiante.

Convexidade e tipos de não-convexidade

Pode-se caracterizar os polígonos de acordo com a sua convexidade ou o tipo de não-convexidade:

• Estrelado: formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
  • Falso: Pela sobreposição de Polígonos
  • Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
• Entrecruzado: aquele em que o prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono.

Simetria

• Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

Propriedades

Ângulos

• O número de vértices é igual ao número de lados.
• A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados ($S_i$) é dada por $(n-2). 180^\circ.$
• A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de $n$ lados ($S_e$) é igual a $360^\circ.$
• A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados ($a_i$) é dada por$\frac{(n-2). 180^\circ}{n}.$
• A medida do ângulo externo de um polígono regular de $n$ lados ($a_e$) é dada por$\frac{360^\circ}{n}.$
• A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de $n$ lados ($S_c$) é igual a $360^\circ.$
• A medida do ângulo central de um polígono regular de $n$ lados ($a_c$) é dada por$\frac{360^\circ}{n}.$

Polígonos regulares

Para um polígono de n lados, temos que a soma dos ângulos internos (S¡) = $(n - 2)\times 180^o$

Exemplos: Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = (6-2) . 180° = 4.180° = 720°

Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°

O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.

Outras

• De cada vértice de um polígono de $n$ lados, saem $n-3$ diagonais ($d_v$).
• O número de diagonais ($d$) de um polígono é dado por $d = \frac{n(n-3)}{2},$ onde $n$ é o número de lados do polígono.
• Em um polígono convexo de $n$ lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por $n-2.$

Nomenclatura dos polígonos

Nomes dos polígonos

Lados	Nome	Lados	Nome	Lados	Nome
1	não existe	11	undecágono	...	...
2	não existe	12	dodecágono
3	triângulo	13	tridecágono	30	triacontágono
4	quadrilátero	14	tetradecágono	40	tetracontágono
5	pentágono	15	pentadecágono	50	pentacontágono
6	hexágono	16	hexadecágono	60	hexacontágono
7	heptágono	17	heptadecágono	70	heptacontágono
8	octógono	18	octodecágono	80	octacontágono
9	eneágono	19	eneadecágono	90	eneacontágono
10	decágono	20	icoságono	100	hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Dezenas		e	Unidades		sufixo
		-kai-	1	hena-	-gono
20	icosi-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-enea-

Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
tetraconta-	-kai-	-di-	-gono	tetracontakaidigono

e um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
pentaconta-			-gono	pentacontagono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como os seguintes:

Lados	Nome
22	docoságono
25	pentacoságono
1000	quilógono
1.000.000	megágono
109	gigágono
10100	googólgono

Mitologia

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.

Ver também

• Poliedro, a generalização para 3 dimensões

Ligações externas

• Geometria: Polígonos e triângulos