Equação de Laplace

Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais duplamente diferenciáveis, $\varphi$, de variáveis reais, x, y, e z, tal que

> {\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0. </math>

Isso é frequentemente escrito como

Falhou a verificação gramatical (função desconhecida: "\varp"): {\displaystyle \nabla^2 \varp hi = 0 \,}

ou

$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi =0,$

onde div é o divergente, e grad é o gradiente, ou

$\Delta \varphi =0,\,$

onde Δ é o laplaciano.

As soluções para a equação de Laplace são cha

Condições de contorno

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet

O caso mais simples é quando o valor da função é especificado sobre o contorno especificado a seguir$\partial D$ do domínio $D$:

${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$

Problema de Newmann

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D e aplicando a primeira identidade de Green:

$0=\int _{D}0dx=\int _{D}\triangle \varphi dx=\int _{\partial D}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi dS(x)=\int _{\partial D}gdS(x)$

Ver também

• Equação de Poisson