Equação diferencial de Bernoulli

 Nota: Este artigo é sobre a equação diferencial. Para a equação em mecânica de fluidos, veja Equação de Bernoulli.

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}.$

(0.1)

onde $n$ é um qualquer número real. Para $n\neq 0$ e $n\neq 1$ esta equação diferencial não é linear.

Desenvolvimento

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por $y^{n}:$

$y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x).$

(0.2)

Seja agora

$w=y^{1-n}$

Derivando $w$ obtemos

$w'=(1-n)y^{1-n-1}y'=(1-n)y^{-n}y'$

Multiplicando ambos membros de (0.2) por $1-n,$ fica

$(1-n)y^{-n}y'+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x).$

(0.3)

Ou seja,

$w'+(1-n)P(x)w=(1-n)Q(x).$

(0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, $P(x)$ e $Q(x)$ contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir $w$ por $y^{1-n}.$

Exemplo

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}.$

(0.5)

Dividindo ambos os membros por $y^{2}$ fica

$y'y^{-2}+{\frac {1}{x}}y^{-1}=x.$

(0.6)

Pondo

$w=y^{-1}.$

$w'=-y^{-2}y'.$

A equação (0.6) é equivalente a

$-y^{-2}y'-{\frac {1}{x}}y^{-1}=-x.$

(0.7)

Substituindo $y$ por $w,$ vem

$w'-{\frac {1}{x}}w=-x.$

(0.8)

Usando a notação anterior,

$P(x)=-{\frac {1}{x}}$ e $Q(x)=-x.$

$\int _{}^{}P(x)\,dx=\int _{}^{}-{\frac {1}{x}}\,dx=-\ln |x|=\ln |x|^{-1}$

onde

$e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}=e^{\ln |x|^{-1}}=|x|^{-1}$

e

$\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx=\int _{}^{}|x|^{-1}(-x)\,dx=\left\{{\begin{matrix}\int _{}^{}-1\,dx,&{\mbox{se }}x\geq 0\\\int _{}^{}1\,dx,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}-x&{\mbox{se }}x\geq 0\\x&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.=-|x|.$

A solução geral de (0.8) é dada por

$e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}w=\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C$

ou seja,

$|x|^{-1}w=-|x|+C.$

(0.9)

Para $x\neq 0,$ (0.9) é equivalente a

$w=-|x|^{2}+C|x|,$

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

$w=-|x|^{2}+Cx.$

Substituindo $w$ por $y^{-1},$ vem

$y^{-1}=-x^{2}+Cx,$

ou ainda,

$y={\frac {1}{-x^{2}+Cx}}.$

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear

Referências

• Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, ISBN 978-3-540-56670-0, Berlin, New York: Springer-Verlag .

Ligações externas

• Bernoulli equation, PlanetMath.org.