Operador adjunto

Em matemática e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.

O adjunto de um operador $A$ é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de $A$ (em homenagem a Charles Hermite) e é denotado por $A^{*}$ ou $A^{\dagger }$ , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.

${\color {RedViolet}{\begin{array}{||c|}\hline {\color {Black}{\text{ O conjugado de Hermitiano de um operator na Notação de Bra-ket }}}\\\\{\color {Blue}\langle A^{\dagger }\phi |\psi \rangle =\langle \phi |A\psi \rangle \quad }\\\\\hline \end{array}}}$

Definição para os operadores limitados

Suponha que ${\mathcal {H}}$ é um espaço de Hilbert, com o produto interno $\langle \cdot |\cdot \rangle$. Considere um operador linear contínuo $A:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ (isso é o mesmo que um operador linear limitado).

Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único $A^{\dagger }:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ com a seguinte propriedade:

$\langle x|Ay\rangle =\langle A^{\dagger }x|y\rangle \quad {\mbox{para todo }}x,y\in {\mathcal {H}}.$

Esse operador $A^{\dagger }$ é o adjunto de $A$. Isso pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.

Propriedades

Propriedades imediatas:

1. $A^{**}=A$ (Involução )
2. Se $A$ é inversível, então assim é $A^{*}$, com ${(A^{*})}^{-1}={(A^{-1})}^{*}$
3. ${(A+B)}^{*}=A^{*}+B^{*}$ (aditividade)
4. ${(\lambda A)}^{*}=\lambda ^{*}A^{*}$, onde $\lambda ^{*}$ denota o conjugado do número complexo $\lambda$
5. ${(AB)}^{*}=B^{*}A^{*}$

Se definimos a norma operacional de $A$ por

$\|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}$

então

$\|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op}$.

Além disso,

$\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}$

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert $H$ juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra $C^{*}$.

Componentes

Seja $\mathbb {V} ^{n}$um espaço vetorial finito sobre o corpo complexo e $|i\rangle ,|j\rangle \in \mathbb {V} ^{n}$dois vetores ortonormais contidos na base canônica desse espaço vetorial. Para qualquer dois vetores contidos nesse espaço na base canônica $|a\rangle ,|b\rangle$teremos que

$\langle a|b\rangle =\left(\langle b|a\rangle \right)^{*}$.

Assim considere o operador $\mathbf {D} \subset {\mathcal {L}}\left(\mathbb {V} ^{n}\right)$($\mathbf {D}$ é endomórfico a $\mathbb {V} ^{n}$), suas componentes são dadas por

$D_{ij}=\langle i|\mathbf {D} |j\rangle$

mas note que

$\mathbf {D} |j\rangle =|\mathbf {D} j\rangle$

portanto

$\langle j|\mathbf {D} ^{\dagger }=\langle \mathbf {D} j|$

desse modo

$\left(D^{\dagger }\right)_{ij}=\langle i|\mathbf {D} ^{\dagger }|j\rangle =\langle \mathbf {D} i|j\rangle =\langle j|\mathbf {D} i\rangle ^{*}=\langle j|\mathbf {D} |i\rangle ^{*}=\left(D_{ji}\right)^{*}=D_{ji}^{*}$

portanto o adjunto de um operador representado matricialmente é igual à transposta da sua matriz com os conjugados complexos tomados.

Operador Hermitiano

Ver artigo principal: Operador autoadjunto

Um operador $\mathbf {P}$ que atua num determinado espaço vetorial é dito hermitiano se satisfaz

$\mathbf {P} ^{\dagger }=\mathbf {P}$

Um exemplo de operador hermitiano é o operador momento, visto na mecânica quântica. Suas componentes na base do operador posição $(x,y,z)$ são encontradas a partir da relação de completeza (estamos supondo que o espaço vetorial onde esses operadores atuam é completo)

$$\langle \Phi |\mathbf {P} ^{\dagger }|\Psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\langle \mathbf {P} \Phi |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle dx'=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(-i\hbar {\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\Phi (x')\right)^{*}\Psi (x')dx'=0+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\Phi ^{*}(x')i\hbar \left(-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')\Psi (x')\right)dx'=\langle \Phi |\mathbf {P} |\Psi \rangle$$

pois as componentes do operador de derivação não são hermitianas (é anti-hermitiano)

$$D_{x'x}^{*}=\left({\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\right)^{*}=\left(\delta (x'-x){\frac {d}{dx'}}\right)^{*}=-\delta (x-x'){\frac {d}{dx'}}=-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')=-D_{xx'}$$

o fator $-i$ torna o operador hermitiano:

$\left(-iD_{x'x}\right)^{*}=\left(-i{\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\right)^{*}=i\left(-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')\right)=-iD_{xx'}$

Conjugado hermitiano de um operador constante

Temos um operador $K=a+ib$ , onde $a$ e $b$ são números reais, pela definição temos que o conjugado hermitiano

$\langle \phi |K\psi \rangle =\langle K^{\dagger }\phi |\psi \rangle \quad$

Substituimos $K$ por $a+ib$ ,

$\langle (a-ib)\phi |\psi \rangle =\langle \phi |(a+ib)\psi \rangle =(a+ib)\langle \phi |\psi \rangle \quad$

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.

Adjuntos de operador antilinear

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear $A$ em um espaço de Hilbert $H$ é um operador antilinear $A^{*}:H\rightarrow H$ com a propriedade:

$\langle Ax,y\rangle ={\overline {\langle x,A^{*}y\rangle }}\quad {\text{para todo }}x,y\in H.$

Outros adjuntos

Esta Equação

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$

é formalmente semelhante à definição de propriedades de pares de functores adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.

Definição para os Operadores Ilimitados

Sejam $X,Y$ espaços de Banach . Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear $A:D(A)\subset X\longrightarrow Y$, onde $D(A)$ é um subespaço de $X$, chamado domínio de $A$. Dizemos que o operador $A$ é densamente definido quando ${\overline {D(A)}}=X$.

Dado um operador linear ilimitado $A:D(A)\subset X\longrightarrow Y$ densamente definido, o seu Operador Adjunto é um operador linear ilimitado $A^{\ast }:D(A^{\ast })\subset Y^{\ast }\longrightarrow X^{\ast }$ que definiremos a seguir.

Primeiramente, precisamos definimos seu domínio. Para isso, para cada $\varphi \in Y^{\ast }$ definimos o funcional linear $\varphi _{A}:D(A)\longrightarrow \mathbb {R}$ por $\varphi _{A}(x)=\langle \varphi ,Ax\rangle$, onde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota o par dualidade entre $Y^{\ast }$ e $Y$, isto é, $\langle \varphi ,Ax\rangle =\varphi (Ax)$.

Com isso, definimos o domínio de $A^{\ast }$ como o subespaço de $Y^{\ast }$ dos funcionais $\varphi _{A}$ que são contínuos, ou seja,

$D(A^{\ast })=\{\varphi \in Y^{\ast };\ \varphi _{A}\in D(A)^{\ast }\}.$

Note que, se $\varphi \in D(A^{\ast })$, então $\exists \,C\geq 0$ tal que $|\langle \varphi ,Ax\rangle |\leq C\|x\|_{X},\,\forall x\in D(A)$

Agora, podemos definir $A^{\ast }\varphi$ em $X^{\ast }$. De fato, dado $\varphi \in D(A^{\ast })$, como $D(A)$ é denso em $X$, existe uma única ${\tilde {\varphi }}\in X^{\ast }$ que estende $\varphi$. Assim, definimos $A^{\ast }\varphi ={\tilde {\varphi }}$. Em particular, temos a seguinte relação fundamental entre $A$ e $A^{\ast }$:

$\langle A^{\ast }\varphi ,x\rangle _{X^{\ast },X}=\langle \varphi ,Au\rangle _{Y^{\ast },Y},\ \forall x\in D(A),\ \forall \varphi \in D(A^{\ast }).$

Ver também

• Operador autoadjunto
• Espaço de Hilbert
• Produto interno
• Norma
• Norma operacional
• Matriz transposta
• Notação Bra-ket
• Operador
• Observável
• Conjugado transposto
• Análise complexa
• Adjunção (teoria dos corpos)
• Representação adjunta (grupo de Lie)
• Teoria de Sturm-Liouville

Bibliografia

• Brézis, Haïm (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. doi:10.1007/978-0-387-70914-7 

• Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3