Fator integrante: diferenças entre revisões
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Revisão das 23h53min de 27 de outubro de 2014
Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.
Solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem
Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:
onde é a incógnita e depende da variável , e e são funções dadas.
Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por , obtém-se:
Supomos que M(x) possa ser escrita na seguinte forma:
Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:
onde é constante. Resolvendo para , temos:
Para encontrar a função M(x), basta observar que, pela regra do produto:
Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:
O que implica:
Exemplo
Consire a seguinte equação diferencial:
Multiplicando a equação pelo fator integrante , temos:
ou, reagrupando os termos:
o que é equivalente a:
ou, resolvendo para y: