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A análise funcional é um ramo da análise matemática, cujo núcleo é formado pelo estudo de espaços vetoriais dotados de algum tipo de estrutura relacionada ao limite (por exemplo, produto interno, norma, topologia, etc) e as funções lineares definidas nesses espaços e respeitando essas estruturas em um sentido adequado. As raízes históricas da análise funcional residem no estudo de espaços de funções e na formulação de propriedades de transformações de funções como a transformada de Fourier, assim como transformações que definem operadores contínuos, unitários, etc, e entre espaços de função. Este ponto de vista revelou-se particularmente útil para o estudo de equações diferenciais e integrais.^[1]

O uso da palavra funcional remonta ao cálculo das variações, implicando uma função cujo argumento é uma função e o nome foi usado pela primeira vez no livro de Hadamard de 1910 sobre esse assunto. No entanto, o conceito geral de um funcional tinha sido previamente introduzido em 1887 pelo matemático e físico italiano Vito Volterra. A teoria dos funcionais não-lineares continuou por estudantes de Hadamard, em particular Fréchet e Lévy. Hadamard também fundou a escola moderna de análise funcional linear desenvolvida por Riesz e o grupo de matemáticos poloneses em torno de Stefan Banach.

Nos textos introdutórios modernos para a análise funcional, o sujeito é visto como o estudo de espaços vetoriais dotados de uma topologia, em particular espaços de dimensões infinitas. Em contraste, a álgebra linear trata principalmente de espaços de dimensões finitas e não usa topologia. Uma parte importante da análise funcional é a extensão da teoria da medida, integração e probabilidade para espaços dimensionais infinitos, também conhecida como análise dimensional infinita.

Espaços vetoriais normalizados[editar | editar código-fonte]

O básico, e historicamente primeira classe de espaços estudados em análise funcional são espaços vetoriais normalizados completos sobre os números reais ou complexos. Esses espaços são chamados de Espaços de Banach. Um exemplo importante é um espaço de Hilbert, onde a norma surge de um produto interno. Esses espaços são de fundamental importância em muitas áreas, incluindo a formulação matemática da mecânica quântica.

Mais geralmente, a análise funcional inclui o estudo de espaços de Fréchet e outros espaços vetoriais topológicos não dotados de uma norma.

Um importante objeto de estudo em análise funcional são os operadores lineares contínuos definidos nos espaços de Banach e Hilbert. Isso leva naturalmente à definição de C*-álgebras e outras álgebras de operadores.

Espaços de Hilbert[editar | editar código-fonte]

Os espaços de Hilbert podem ser completamente classificados: existe um espaço exclusivo de Hilbert para o isomorfismo para cada cardinalidade de base ortonormal. Os espaços de Hilbert de dimensões finitas são totalmente compreendidos na álgebra linear e os espaços de Hilbert separáveis de dimensões infinitas são isomórficos para $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$ . A separação é importante para aplicações, a análise funcional dos espaços de Hilbert conseqüentemente, trata principalmente desse espaço. Um dos problemas abertos na análise funcional é provar que todo operador linear limitado em um espaço de Hilbert possui um subespaço invariante apropriado. Muitos casos especiais deste inválido problema de subespaço já foram comprovados.

Espaços de Banach[editar | editar código-fonte]

Os espaços gerais de Banach^[2] são mais complicados do que os espaços de Hilbert, e não podem ser classificados de maneira tão simples quanto esses. Em particular, muitos espaços de Banach não possuem uma noção análoga a uma base ortonormal.

Um exemplo de espaços de Banach são $L^{\,p}$ -espaços para qualquer número real $p\geq 1$ . Dado também uma medida $\mu$ no conjunto $X$ , então $L^{\,p}(X)$ as vezes também denotado $L^{\,p}(X,\mu )$ ou $L^{\,p}(\mu )$ , tem como suas classes de equivalência de vetores $[\,f\,]$ de funções mensuráveis cujo valor absoluto de $p$ possui uma integral finita, isto é, funções $f\,$ para as quais

\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<+\infty

.

Se $\mu$ for a medida de contagem, a integral poderá ser substituída por uma soma. Ou seja, exigimos

\sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<+\infty

.

Então, não é necessário lidar com as classes de equivalência, e o espaço é denotado $\ell ^{\ p}(X)$ , escrito mais simplesmente $\,\ell ^{\,p\ }$ no caso em que $X$ seja o conjunto de inteiros não negativos.

Nos espaços de Banach, uma grande parte do estudo envolve o espaço duplo: o espaço de todos os mapas lineares contínuos do espaço em seu campo subjacente, os chamados funcionais. Um espaço de Banach pode ser identificado canonicamente com um subespaço de seu bidual, que é o dual do seu espaço dual. O mapa correspondente é uma isometria, mas, em geral, não sobre. Um espaços geral de Banach e seu bidual nem precisa ser isomorficamente isomórfico de qualquer maneira, contrariamente à situação de dimensões finitas. Isso é explicado no artigo do espaço duplo.

Além disso, a noção de derivada pode ser estendida a funções arbitrárias entre espaços de Banach. Veja, por exemplo, o Artigo derivado de Fréchet.

Resultados principais e fundamentais[editar | editar código-fonte]

Os resultados importantes da análise funcional incluem:

Princípio de delimitação uniforme[editar | editar código-fonte]

O princípio da delimitação uniforme ou o teorema de Banach-Steinhaus é um dos resultados fundamentais na análise funcional. Juntamente com o teorema Hann-Banach e o teorema do mapeamento aberto, é considerado um das pedras angulares do campo. Na sua forma básica, afirma que para a família de operadores lineares contínuos (e, portanto, operadores limitados) cujo domínio é um espaço de Banach, a delimitação do ponto é equivalente à delimitação uniforme na norma do operador.

O teorema foi publicado pela primeira vez em 1927 por Stefan banach e Hugo Steinhaus mas também foi comprovado independentemente por Hans Hahn.

Teorema (Princípio de Limite Uniforme).^[3] Deixe X ser um espaço de Banach e Y seja um espaço vetorial normado. Suponha que F seja uma coleção de operadores lineares contínuos de X para Y. Se para todo x em X um tenha

\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,

Então

\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .

Teorema espectral[editar | editar código-fonte]

Existem muitos teoremas conhecidos, como o teorema espectral, mas um em particular tem muitas aplicações em análise funcional. Seja A o operador de multiplicação por t em L²[0, 1], isto é

[A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;

Teorema:^[4] Seja A um operador auto-adjunto limitado em um espaço de Hilbert H. Então há um espaço de medida (X, Σ, μ) e uma função mensurável essencialmente limitada de valor real f em X e um operador unitário U:H → L²_μ(X) tal que

U^{*}TU=A\;

Onde T é o operador de multiplicação:

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).\;

e $\|T\|=\|f\|_{\infty }$

Este é o início da vasta área de pesquisa de análise funcional chamada teoria do operador; Veja também a medida espectral.

Há também um teorema espectral análogo para operadores normais limitados em espaços de Hilbert. A única diferença na conclusão é que agora $f$ pode ser de valor complexo.

Teorema de Hahn-Banach[editar | editar código-fonte]

O teorema de Hahn-Banach é uma ferramenta central na análise funcional. Ele permite a extensão de funcionalidades lineares limitadas definidas em um subespaço de algum espaço vetorial para todo o espaço, e também mostra que existem "funcionais lineares contínuos" suficientemente definidos em cada espaço vetorial normado para tornar o estudo do espaço duplo "interessante".

Teorema de Hahn-Banach:^[5] Se $p : V \to R$ é uma função sublinear, e $φ : U \to R$ é um funcional linear em um subespaço linear $U \subseteq V$ que é dominado por $p$ em $U$ , isto é,

\varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U

Então existe uma extensão linear $ψ : V \to R$ do $φ$ para todo o espaço $V$ , isto é, existe uma funcionalidade linear $ψ$ de tal modo que

\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,

\psi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in V.

Teorema de mapeamento aberto[editar | editar código-fonte]

O teorema de mapeamento aberto, também conhecido como o teorema de Banach-Schauder (chamado de Stefan Banach e Juliusz Schauder), é um resultado fundamental que afirma que se um operador linear contínuo entre os espaços de Banach é surjectivo, é um mapa aberto. Mais precisamente:^[5]

Teorema de mapeamento aberto. Se X e Y são espaços de Banach e A: X → Y é um operador linear contínuo surjectivo, então A é um mapa aberto (isto é, se U é um conjunto aberto em X, então A (U) está aberto em Y).

A prova usa o teorema da categoria Baire, e a completude de X e Y é essencial para o teorema. A afirmação do teorema não é mais verdadeira se qualquer um dos espaços apenas for assumido como um espaço normado, mas é verdade se X e Y são considerados espaços de Fréchet.

Teorema do gráfico fechado[editar | editar código-fonte]

O teorema de gráfico fechado indica o seguinte: se X é um espaço topológico e Y é um espaço de Hausdorff compacto, então o gráfico de um mapa linear T de X para Y é fechado se e somente se T for contínuo.^[6]

Fundamentos de considerações de matemática[editar | editar código-fonte]

A maioria dos espaços considerados na análise funcional tem dimensão infinita. Para mostrar a existência de uma base de espaço vetorial para tais espaços pode exigir o lema de Zorn. No entanto, um conceito um pouco diferente, base Schauder, geralmente é mais relevante na análise funcional. Muitos teoremas importantes exigem o teorema de Hahn-Banach, e geralmente provam o uso do axioma de escolha, embora seja suficiente o teorema ideal inicialmente booleano estritamente mais fraco. O teorema da categoria Baire, necessário para provar muitos teoremas importantes, também requer uma forma de axioma de escolha.

Pontos de vista[editar | editar código-fonte]

A análise funcional na sua forma atual inclui as seguintes tendências:

Análise abstrata. Uma abordagem à análise baseada em grupos topológicos, anéis topológicos e espaços vetoriais topológicos.
A geometria dos espaços de Banach contém muitos tópicos. Uma é uma abordagem combinatória ligada a Jean Bourgain; O outro é uma caracterização de espaços de Banach, em que se mantêm várias formas de lei de grandes números.
Geometria não comutativa. Desenvolvido por Alain Connes, em parte com base em noções anteriores, como a abordagem de George Mackey para a teoria ergódica.
Conexão com a mecânica quântica. Ou definido de forma restrita como na física, matemática, ou amplamente interpretado por Israel Gelfand, para incluir a maioria dos tipos de teoria da representação.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Lista de tópicos de análise funcional
Teoria espectral

Referências

↑ Erwin., Kreyszig, (1978). Introductory functional analysis with applications. [S.l.]: Wiley. ISBN 9780471504597. OCLC 20315730
↑ (Albrecht), Pietsch, A. (2007). History of Banach spaces and linear operators. [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 9780817643676. OCLC 232363309
↑ 1938-, Swartz, Charles, (1992). An introduction to functional analysis. [S.l.]: M. Dekker. ISBN 0824786432. OCLC 24909067
↑ Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 147
↑ ^a ^b Rudin, Walter (1991). Functional analysis. [S.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5
↑ 1930-, Munkres, James R., (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Inc. ISBN 0131816292. OCLC 42683260

Leituras adicionais[editar | editar código-fonte]

Giles,J.R.: Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces,Cambridge University Press, 2000
Edwards, R. E.: Functional Analysis, Theory and Applications, Hold, Rinehart and Winston, 1965.
Eidelman, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis: Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004.
Pietsch, Albrecht: History of Banach spaces and linear operators, Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6
Michael C. Reed, Barry Simon "Functional Analysis", Academic Press 1980.

Links externos[editar | editar código-fonte]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Functional analysis», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Lecture Notes on Functional Analysis by Yevgeny Vilensky, New York University.

[[Categoria:Análise funcional]]

[1] Erwin., Kreyszig, (1978). Introductory functional analysis with applications. [S.l.]: Wiley. ISBN 9780471504597. OCLC 20315730

[2] (Albrecht), Pietsch, A. (2007). History of Banach spaces and linear operators. [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 9780817643676. OCLC 232363309

[3] 1938-, Swartz, Charles, (1992). An introduction to functional analysis. [S.l.]: M. Dekker. ISBN 0824786432. OCLC 24909067

[4] Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Springer, p. 147

[rudin-5] Rudin, Walter (1991). Functional analysis. [S.l.]: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5

[6] 1930-, Munkres, James R., (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Inc. ISBN 0131816292. OCLC 42683260

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