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Em matemática, mais especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.
Visão geral[editar | editar código-fonte]
Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de dimensões é um processo definido em um espaço de probabilidade e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:
em que é um movimento browniano de dimensões e e satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:
para alguma constante e todo . Esta condição garante a existência de uma única solução forte à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial é conhecido como coeficiente de deriva de . O campo tensorial é conhecido como o coeficiente de difusão de . É importante notar que e não dependem do tempo. Se dependessem do tempo, seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem:
- a continuidade amostral e a continuidade de Feller;
- a propriedade de Markov;
- a propriedade forte de Markov;
- a existência de um gerador infinitesimal;
- a existência de um operador característico;
- a fórmula de Dynkin.
Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.
Continuidade[editar | editar código-fonte]
Continuidade amostral[editar | editar código-fonte]
Um difusão de Itō é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações do ruído, é uma função contínua do parâmetro de tempo . Mais precisamente, há uma "versão contínua" de , um processo contínuo tal que:
Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.
Continuidade de Feller[editar | editar código-fonte]
Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.
Para um ponto , considere que P denota a lei de , sendo o dado inicial , e considere que Edenota o valor esperado em relação a P.
Considere que é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para fixo, por:
- Semicontinuidade inferior: se for semicontínua inferior, então, é semicontínua inferior.
- Continuidade de Feller: se for limitada e contínua, então, é contínua.
O comportamento da função acima quando o tempo é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.
Propriedade de Markov[editar | editar código-fonte]
Propriedade de Markov[editar | editar código-fonte]
Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de , dado o que aconteceu até o tempo , é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.
Considere que denota a filtração natural de gerada pela movimento browniano . Para ,
É fácil mostrar que é adaptado a (isto é, que cada é -mensurável), de modo que a filtração natural de gerada por tem para cada . Considere que é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo e , o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de satisfazem a propriedade de Markov:
De fato, é também um processo de Markov no que se refere à filtração , como mostra o que segue:
Propriedade forte de Markov[editar | editar código-fonte]
A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que é substituído por um tempo aleatório adequado conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de reiniciar o processo no tempo , pode-se reiniciar quando quer que alcance pela primeira vez algum ponto especificado de .
Como antes, considere uma função limitada e mensurável de Borel. Considere um tempo de parada no que se refere à filtração com quase certamente. Então, para todo ,
Gerador[editar | editar código-fonte]
Definição[editar | editar código-fonte]
Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo . Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō é o operador , que é definido como agindo em funções adequadas por:
O conjunto de todas as funções para as quais este limite existe em um ponto é denotado como , enquanto denota o conjunto de todas as para a qual o limite existe para todo . Pode-se mostrar que qualquer função compactamente suportada (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em e que:
ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,
Exemplo[editar | editar código-fonte]
O gerador para o movimento browniano padrão de dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica , é dado por
isto é, , em que denota o operador de Laplace.
Equações de Kolmogorov e de Fokker–Planck[editar | editar código-fonte]
O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo e a posição inicial são variáveis independentes. Mais precisamente, se tiver suporte compacto e for definido por:
então, é diferenciável no que diz respeito a para todo e satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:
A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é em algum sentido a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de evoluem com o tempo . Considere que é a densidade de no que diz respeito à medida de Lebesgue em , isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel :
Considere que denota o adjunto hermitiano de (no que diz respeito ao produto interno L2). Então, dado que a posição inicial tem a densidade prescrita , é diferenciável no que diz respeito a , para todo e satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:
Fórmula de Feynman–Kac[editar | editar código-fonte]
A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente, está em e tem suporte compacto e assume-se que é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função por:
A fórmula de Feynman–Kac afirma que satisfaz a equação diferencial parcial:
Além disso, se for em tempo, em espaço, limitada como para todo compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então, deve ser como definida acima.
A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que para todo .
Operador característico[editar | editar código-fonte]
Definição[editar | editar código-fonte]
O operador característico de uma difusão de Itō é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.
O operador característico de uma difusão de Itō é definido por:
em que os conjuntos formam uma sequência de conjuntos abertos que decresce ao ponto no sentido em que:
e
é o primeiro tempo de saída a partir de para . denota o conjunto de todas as para as quais este limite existe para todo e todas as sequências . Se para todos os conjuntos abertos contendo , define-se:
Relação com o gerador[editar | editar código-fonte]
O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:
e que
Em particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções e nesse caso:
Aplicação do movimento browniano em uma variedade de Riemann[editar | editar código-fonte]
Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em foi calculado como sendo , em que denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann de dimensões: um movimento browniano em é definido como sendo uma difusão em cujo operador característico em coordenadas locais , , é dado por , em que é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:
em que no sentido do inverso da matriz quadrada.
Operador resolvente[editar | editar código-fonte]
Em geral, o gerador de uma difusão de Itō não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade for subtraído a partir de , então, o operador resultante é invencível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio usando o operador resolvente.
Para , o operador resolvente , agindo em funções limitadas, contínuas , é definido como:
Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão , que é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também, e são operadores mutuamente inversos:
- Se for com suporte compacto, então, para todo ,
- Se for limitada e contínua, então, repousa em , para todo ,
Medidas invariantes[editar | editar código-fonte]
Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō , isto é, uma medida em que não muda sob o "fluxo" de , ou seja, se for distribuída de acordo com tal medida invariante , então, é também distribuída de acordo com para qualquer . A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade : se for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante com densidade , então, a densidade de não muda com , de modo que , e então deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):
Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma pode ser difícil de resolver diretamente, mas se para alguma difusão de Itō e uma medida invariante para for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.
Medidas invariantes para fluxos de gradiente[editar | editar código-fonte]
Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo é um fluxo de gradiente estocástico de forma
em que desempenha o papel de uma temperatura inversa e é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária (isto é, tem uma única medida invariante com densidade ) e é dada pela distribuição de Gibbs:
em que a função de partição é dada por:
Além disso, a densidade satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade em a energia livre funcional dada por:
em que
desempenha o papel de uma energia funcional e
é a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial não é bem comportado o bastante para a função de partição e a medida de Gibbs a serem definidas, a energia livre ainda faz sentido para cada tempo , desde que a condição inicial tenha . A energia livre funcional é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck: pode decrescer conforme aumenta. Assim, é uma função H para a dinâmica X.
Exemplo[editar | editar código-fonte]
Consider the Ornstein-Uhlenbeck process X on Rn satisfying the stochastic differential equation
where m ∈ Rn and β, κ > 0 are given constants. In this case, the potential Ψ is given by
and so the invariant measure for X is a Gaussian measure with density ρ∞ given by
- .
Heuristically, for large t, Xt is approximately normally distributed with mean m and variance (βκ)−1. The expression for the variance may be interpreted as follows: large values of κ mean that the potential well Ψ has "very steep sides", so Xt is unlikely to move far from the minimum of Ψ at m; similarly, large values of β mean that the system is quite "cold" with little noise, so, again, Xt is unlikely to move far away from m.
Propriedade martingale[editar | editar código-fonte]
In general, an Itô diffusion X is not a martingale. However, for any f ∈ C2(Rn; R) with compact support, the process M : [0, +∞) × Ω → R defined by
where A is the generator of X, is a martingale with respect to the natural filtration F∗ of (Ω, Σ) by X. The proof is quite simple: it follows from the usual expression of the action of the generator on smooth enough functions f and Itô's lemma (the stochastic chain rule) that
Since Itô integrals are martingales with respect to the natural filtration Σ∗ of (Ω, Σ) by B, for t > s,
Hence, as required,
since Ms is Fs-measurable.
Fórmula de Dynkin[editar | editar código-fonte]
Dynkin's formula, named after Eugene Dynkin, gives the expected value of any suitably smooth statistic of an Itô diffusion X (with generator A) at a stopping time. Precisely, if τ is a stopping time with Ex[τ] < +∞, and f : Rn → R is C2 with compact support, then
Dynkin's formula can be used to calculate many useful statistics of stopping times. For example, canonical Brownian motion on the real line starting at 0 exits the interval (−R, +R) at a random time τR with expected value
Dynkin's formula provides information about the behaviour of X at a fairly general stopping time. For more information on the distribution of X at a hitting time, one can study the harmonic measure of the process.
Medidas associadas[editar | editar código-fonte]
Medida harmônica[editar | editar código-fonte]
In many situations, it is sufficient to know when an Itô diffusion X will first leave a measurable set H ⊆ Rn. That is, one wishes to study the first exit time
Sometimes, however, one also wishes to know the distribution of the points at which X exits the set. For example, canonical Brownian motion B on the real line starting at 0 exits the interval (−1, 1) at −1 with probability ½ and at 1 with probability ½, so Bτ(−1, 1) is uniformly distributed on the set {−1, 1}.
In general, if G is compactly embedded within Rn, then the harmonic measure (or hitting distribution) of X on the boundary ∂G of G is the measure μGx defined by
for x ∈ G and F ⊆ ∂G.
Returning to the earlier example of Brownian motion, one can show that if B is a Brownian motion in Rn starting at x ∈ Rn and D ⊂ Rn is an open ball centred on x, then the harmonic measure of B on ∂D is invariant under all rotations of D about x and coincides with the normalized surface measure on ∂D.
The harmonic measure satisfies an interesting mean value property: if f : Rn → R is any bounded, Borel-measurable function and φ is given by
then, for all Borel sets G ⊂⊂ H and all x ∈ G,
The mean value property is very useful in the solution of partial differential equations using stochastic processes.
Medida de Green e fórmula de Green[editar | editar código-fonte]
Let A be a partial differential operator on a domain D ⊆ Rn and let X be an Itô diffusion with A as its generator. Intuitively, the Green measure of a Borel set H is the expected length of time that X stays in H before it leaves the domain D. That is, the Green measure of X with respect to D at x, denoted G(x, ·), is defined for Borel sets H ⊆ Rn by
or for bounded, continuous functions f : D → R by
The name "Green measure" comes from the fact that if X is Brownian motion, then
where G(x, y) is Green's function for the operator ½Δ on the domain D.
Suppose that Ex[τD] < +∞ for all x ∈ D. Then the Green formula holds for all f ∈ C2(Rn; R) with compact support:
In particular, if the support of f is compactly embedded in D,
Referências[editar | editar código-fonte]
- Dynkin, Eugene B.; trans. J. Fabius; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965). Markov processes. Vols. I, II. Col: Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. New York: Academic Press Inc. MR0193671
- Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix (1998). «The variational formulation of the Fokker–Planck equation». SIAM J. Math. Anal. 29 (1): 1–17 (electronic). doi:10.1137/S0036141096303359 MR1617171
- Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 MR2001996 (See Sections 7, 8 and 9)