Equação de Euler-Cauchy

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A equação diferencial linear da forma


onde os coeficientes , , . . . , são constantes, é conhecida como a equação de Euler-Cauchy (ou Cauchy-Euler). A visível característica desse tipo de equação é que o grau dos coeficientes corresponde a ordem do diferencial : [1]


Nota: Para outros sentidos, procure equação de euler.

Equação de Euler-Cauchy de Segunda Ordem[editar | editar código-fonte]

Realizaremos uma análise detalhada da forma da solução geral da equação de segunda ordem homogênea


A solução de equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a particular.

Nota: O coeficiente de é zero em . Portanto concentraremos nossa atenção em encontrar as soluções gerais definidas no intervalo . Soluções no intervalo podem ser obtidas fazendo a substituição na equação diferencial.

Solução da equação homogênea de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

Vamos tentar uma solução da forma , onde será determinado. Analogamente com o que acontece quando substituímos equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos , cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em vezes , como


Por exemplo, quando substituímos , a equação de segunda ordem se torna


Logo é uma solução da equação diferencial sempre que é solução da equação auxiliar

ou

Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes aparecem como um par conjugado.

Caso 1: raízes reais e distintas[editar | editar código-fonte]

Sejam e as raízes reais e distintas de tal que . Então e formam um conjunto fundamental de soluções. Portanto a solução geral é dada por


Caso 2: raízes reais e iguais [2] [editar | editar código-fonte]

Se as raízes de são iguais () então conhecemos apenas uma solução, , da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução linearmente independente de . Procuramos da forma . Substituindo em , temos:


Agrupando os termos, obtemos:


Mas como o argumento de é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:


Simplificando:


Note que a equação se reescreve como . Portanto, se ela tem raíz dupla é porque . Neste caso, a raiz dupla é


Portanto, Substituindo em , obtemos:


que é redutível à primeira ordem. Considerando obtemos


Separando as variáveis, temos


Integrando e escolhendo a constante de integração como sendo , encontramos , de onde segue


Integrando mais uma vez, segue que e, portanto


Conclusão: se a equação algébrica tem raiz real dupla , duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são

e .


Caso 3: Raízes complexas conjugadas[editar | editar código-fonte]

Se as raízes de são o par conjugado , onde e são reais, então uma solução é


Mas quando as raízes da equação auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, queremos escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tal, usamos a identidade a seguir:


que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que


Similarmente,


Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos

e

respectivamente. A partir do fato de que é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para e que

e

ou e

também são soluções. Já que no intervalo , concluímos que

e


constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.Portanto a a solução geral é


Referências

  1. Zill, Dennis G. (2005). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications (Belmont: BROOKS/COLE). pp. 162–165. ISBN 978-0-495-10824-5. 
  2. Brietzke, Eduardo. «Seção 21 – Equação de Cauchy–Euler» (PDF). Consultado em 22 de março de 2016. 


Ver também[editar | editar código-fonte]