Em matemática, uma equação de Euler-Cauchy, ou equação de Cauchy-Euler, ou simplesmente a equação de Euler é uma equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes variáveis. Às vezes é chamada de equação equidimensional. Devido à sua estrutura equidimensional particularmente simples, a equação diferencial pode ser resolvida explicitamente.
A equação de Euler-Cauchy pode ser expressa como
![{\displaystyle a_{n}\,x^{n}{d^{n}y \over dx^{n}}+a_{n-1}\,x^{n-1}{d^{n-1}y \over dx^{n-1}}+...+a_{1}\,x{dy \over dx}+a_{0}\,y=g(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e089839270e04ea764592e511abb793cf1f67609)
A substituição
(isto é,
; para
, podemos substituir
por
, que estende o domínio da solução para
) pode ser usada para reduzir esta equação a uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Alternativamente, a solução experimental
pode ser usado para resolver diretamente as soluções básicas.[1]
Uma das características desse tipo de equação é que o grau
dos coeficientes
corresponde a ordem
da diferencial
.[2]
Realizaremos uma análise detalhada da forma da solução geral da equação de segunda ordem homogênea
![{\displaystyle ax^{2}\,{d^{2}y \over dx^{2}}+bx{dy \over dx}+cy=0(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d3cfce26122ba6acc5e92ce7f66164fa79d511)
A solução de equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea
pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a
particular.
Nota: O coeficiente
de
é zero em
. Portanto concentraremos nossa atenção em encontrar as soluções gerais definidas no intervalo
. Soluções no intervalo
podem ser obtidas fazendo a substituição
na equação diferencial.
Vamos tentar uma solução da forma
, onde
será determinado. Analogamente com o que acontece quando substituímos
equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos
, cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em
vezes
, como
![{\displaystyle a_{k}x^{k}{dk^{y} \over dx^{k}}=a_{k}x^{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m-k}=a_{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed6a726c586eacac650c1c4ef72bed03573236d)
Por exemplo, quando substituímos
, a equação de segunda ordem se torna
![{\displaystyle ax^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}+bx{dy \over dx}+cy=am(m-1)x^{m}+bmx^{m}+cx^{m}=[am(m-1)+bm+c]x^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2af5b6203c14d70fd0bb123bccb4f2f27dec9fe)
Logo
é uma solução da equação diferencial sempre que
é solução da equação auxiliar
ou
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30)
Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes aparecem como um par conjugado.
Sejam
e
as raízes reais e distintas de
tal que
. Então
e
formam um conjunto fundamental de soluções. Portanto a solução geral é dada por
![{\displaystyle y=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dd3452384b5a139bf9f7244d6e95f7bb33837b)
Se as raízes de
são iguais (
) então conhecemos apenas uma solução,
, da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução
linearmente independente de
. Procuramos
da forma
. Substituindo em
, temos:
![{\displaystyle t^{2}(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}'')+at(v'y_{1}+vy_{1}')+bvy_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866e371a3241a46d72f3436b098a31f669e9974d)
Agrupando os termos, obtemos:
![{\displaystyle t^{2}y_{1}v''+(2t^{2}y_{1}'+aty_{1})v'+(t^{2}y_{1}''+aty_{1}'+by_{1})v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f77805ddd67c899a85bc4f048ecbaec11c73702)
Mas como o argumento de
é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:
![{\displaystyle t^{m_{1}+2}v''+(2m_{1}t^{m_{1}+1}+at^{m_{1}+1})v'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a169ac392a8083cc27fe6616d59bf7ac80f994bf)
Simplificando:
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a)
Note que a equação
se reescreve como
. Portanto, se ela tem raiz dupla é porque
. Neste caso, a raiz dupla é
![{\displaystyle m_{1}=m_{2}={1-a \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc709e18fe49353c655a5cf23c7f5adf209e79da)
Portanto,
Substituindo em
, obtemos:
![{\displaystyle tv''+v'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce186d95c56860ab595a728b58bf352baf4c4191)
que é redutível à primeira ordem. Considerando
obtemos
![{\displaystyle t\,{dz \over dt}+z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639da8b92e79b22053a3fa83bd716801e58ddabe)
Separando as variáveis, temos
![{\displaystyle {dz \over z}={-dt \over t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230143f299991c68a8bbd7f41c9ee73ca31a2297)
Integrando e escolhendo a constante de integração como sendo
, encontramos
, de onde segue
![{\displaystyle v'=z=t^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bede1dfe06a4f360cf207a312caaf91fcd85a6)
Integrando mais uma vez, segue que
e, portanto
![{\displaystyle y_{2}=t^{m_{1}}\ln t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f193f694068f785ef28ba6e08268b75cdcab782)
Conclusão: se a equação algébrica
tem raiz real dupla
, duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são:[3]
e
.
Se as raízes de
são o par conjugado
, onde
e
são reais, então uma solução é
![{\displaystyle y=C_{1}x^{\alpha +i\beta }+C_{2}x^{\alpha -i\beta }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c256f8bc110749774b3175574143a375f312669)
Mas quando as raízes da equação auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, queremos escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tal, usamos a identidade a seguir:
![{\displaystyle x^{i\beta }=(e^{\ln x})^{i\beta }=e^{i\beta \ln x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7275bec433ae93a80eb9286944953a13c83ac942)
que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que
![{\displaystyle x^{i\beta }=\cos(\beta \ln x)+i\operatorname {sen} {\beta \ln x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5f6baf4dca68139576780769ad8849c9dc1158)
Similarmente,
![{\displaystyle x^{-i\beta }=\cos(\beta \ln x)-i\operatorname {sen} {\beta \ln x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de425669b661281be95349dc90e6b5e7b61acdb8)
Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos
e
respectivamente.
A partir do fato de que
é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para
e
que
e ![{\displaystyle y_{2}=x^{\alpha }(x^{i\beta }-x^{-i\beta })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa64b3c456531b51ff267b31acd0c80673e03654)
ou
e ![{\displaystyle y_{2}=2ix^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec59ecf29e2a31ccee38c9bf743fe8274e32aaa)
também são soluções. Já que
no intervalo
, concluímos que
e ![{\displaystyle y_{2}=x^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3226763022bb72f0598dd12baffb66c40a68b75c)
constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial. Portanto a solução geral é
![{\displaystyle y=x^{\alpha }[C_{1}\cos(\beta \ln x)+C_{2}\operatorname {sen}(\beta \ln x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec696e0e4aaac30600052b83ba7893951b74e3a7)
Referências