Equação de Euler-Cauchy

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A equação diferencial linear da forma

a_n\,x^n  {d^n y \over dx^n }+a_{n-1}\,x^{n-1}  {d^{n-1} y \over dx^{n-1} }+ ...+a_1\,x {dy \over dx}+a_0\,y=g(x),

onde os coeficientes a_n, a_{n-1}, . . . , a_0 são constantes, é conhecida como a equação de Euler-Cauchy (ou Cauchy-Euler). A visível característica desse tipo de equação é que o grau k=n,\,n-1,...,1,0 dos coeficientes x^k corresponde a ordem k do diferencial d^ky \over dx^k : [1]

\qquad\qquad\downarrow\,\,\,\,\downarrow\qquad\qquad\quad\, \downarrow\quad\,\,\downarrow
a_nx^n {d^n y \over dx^n }+a_{n-1}\,x^{n-1}  {d^{n-1} y \over dx^{n-1} }+...

Nota: Para outros sentidos, procure equação de euler.

Equação de Euler-Cauchy de Segunda Ordem[editar | editar código-fonte]

Realizaremos uma análise detalhada da forma da solução geral da equação de segunda ordem homogênea

ax^2\, {d^2y \over dx^2}+ bx {dy \over dx}+cy=0 (1)

A solução de equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea ax^2y''+bxy'+cy=g(x) pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a y_p particular.

Nota: O coeficiente ax^2 de y'' é zero em x=0. Portanto concentraremos nossa atenção em encontrar as soluções gerais definidas no intervalo (0,\infty). Soluções no intervalo (-\infty,0) podem ser obtidas fazendo a substituição t=-x na equação diferencial.

Solução da equação homogênea de segunda ordem[editar | editar código-fonte]

Vamos tentar uma solução da forma y=x^m, onde m será determinado. Analogamente com o que acontece quando substituímos e^{mx} equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos x^m  , cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em m  vezes x^m  , como

a_kx^k{dk^y \over dx^k}=a_kx^km(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m-k}=a_km(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^m

Por exemplo, quando substituímos y=x^m  , a equação de segunda ordem se torna

ax^2{d^2y \over dx^2}+bx {dy \over dx}+cy=am(m-1)x^m+bmx^m+cx^m=[am(m-1)+bm+c]x^m

Logo y=x^m  é uma solução da equação diferencial sempre que m  é solução da equação auxiliar

am(m-1)+bm+c=0  ou am^2+(b-a)m+c=0  (2)

Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes aparecem como um par conjugado.

Caso 1: raízes reais e distintas[editar | editar código-fonte]

Sejam m_1   e m_2  as raízes reais e distintas de (2) tal que m_1\neq m_2. Então y_1=x^{m_1} e y_2=x^{m_2} formam um conjunto fundamental de soluções. Portanto a solução geral é dada por

y=C_1x^{m_1}+C_2x^{m_2}.


Caso 2: raízes reais e iguais [2] [editar | editar código-fonte]

Se as raízes de (2) são iguais (m_1=m_2) então conhecemos apenas uma solução, y_1=t^{m_1}, da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução y_2 linearmente independente de y_1. Procuramos y_2 da forma y_2=vy_1. Substituindo em (1), temos:

t^2(v''y_1+2v'y_1'+vy_1'')+at(v'y_1+vy_1')+bvy_1=0.
Agrupando os termos, obtemos:

t^2y_1v''+(2t^2y_1'+aty_1)v'+(t^2y_1''+aty_1'+by_1)v=0

Mas como o argumento de v é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:

t^{m_1+2}v''+(2m_1t^{m_1+1}+at^{m_1+1})v'=0

Simplificando:

tv''+(2m_1+a)v'=0. (3)

Note que a equação (2) se reescreve como m^2+(a-1)m+b=0. Portanto, se ela tem raíz dupla é porque (a-1)^2-4b=0. Neste caso, a raiz dupla é

m_1=m_2= {1-a \over 2}.

Portanto, 2m_1+a=1. Substituindo em (3), obtemos:

tv''+v'=0,

que é redutível à primeira ordem. Considerando z=v' obtemos

t\,{dz \over dt}+z=0

Separando as variáveis, temos

{dz \over z} = {-dt \over t}

Integrando e escolhendo a constante de integração como sendo 0, encontramos \ln z= - \ln t, de onde segue

v'=z=t^{-1}

Integrando mais uma vez, segue que v=\ln t e, portanto

y_2=t^{m_1}\ln t

Conclusão: se a equação algébrica (2) tem raiz real dupla m_1=m_2, duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são

y_1=t^{m_1} e y_2=t^{m_1}\ln t.


Caso 3: Raízes complexas conjugadas[editar | editar código-fonte]

Se as raízes de (2) são o par conjugado m_1=\alpha+i\beta,\,\,m_2=\alpha-i\beta, onde \alpha e \beta >0 são reais, então uma solução é

y=C_1x^{\alpha+i\beta}+C_2x^{\alpha-i\beta}.


Mas quando as raízes da equação auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, queremos escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tal, usamos a identidade a seguir:

x^{i\beta}=(e^{\ln x})^{i\beta}=e^{i\beta\ln x},

que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que

x^{i\beta}=\cos(\beta\ln x)+i\sen{\beta\ln x}.

Similarmente,

x^{-i\beta}=\cos(\beta\ln x)-i\sen{\beta\ln x}.

Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos

x^{i\beta}+x^{-i\beta}=2\cos(\beta\ln x) e x^{i\beta}-x^{i\beta}=2i\sen(\beta\ln x),

respectivamente. A partir do fato de que y=C_1x^{\alpha+i\beta}+C_2x^{\alpha-i\beta} é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para C_1=C_2=1 e C_1=1,\,C_2=-1 que

y_1=x^{\alpha}(x^{i\beta}+x^{-i\beta}) e y_2=x^{\alpha}(x^{i\beta}-x^{-i\beta})

ou y_1=2x^{\alpha}\cos(\beta\ln x) e y_2=2ix^{\alpha}\sen(\beta\ln x)

também são soluções. Já que W(x^\alpha\cos(\beta\ln x), x^\alpha\sen(\beta \ln x))=\beta x^{2\alpha-1}\neq0, \,\,\beta>0 no intervalo (0,\infty), concluímos que

y_1=x^\alpha\cos(\beta\ln x) e y_2=x^\alpha\sen(\beta\ln x)


constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.Portanto a a solução geral é

y=x^\alpha[C_1\cos(\beta\ln x)+C_2\sen(\beta\ln x)].

Referências

  1. Zill, Dennis G. (2005). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications (Belmont: BROOKS/COLE). pp. 162–165. ISBN 978-0-495-10824-5. 
  2. Brietzke, Eduardo. «Seção 21 – Equação de Cauchy–Euler» (PDF). Consultado em 22 de março de 2016. 


Ver também[editar | editar código-fonte]