Espaços linha e coluna

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Em álgebra linear, os espaços linha e coluna referem-se aos espaços vetoriais gerados pelos conjuntos dos vetores linha e coluna de uma matriz. A dimensão do espaço linha de uma matriz é chamada de posto linha, enquanto que a dimensão do espaço coluna é chamada posto coluna. Como o posto linha é igual ao posto coluna é usual usar, simplesmente, o termo posto sem fazer referência a linha ou coluna. Também, usamos a notação para nos referirmos ao posto da matriz .[1] [2][3][4]

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja uma matriz real .

Espaço linha[editar | editar código-fonte]

O espaço linha de é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores , onde:

.

A dimensão do espaço linha de é chamada de posto linha da matriz.[2][3][4]

Espaço coluna[editar | editar código-fonte]

O espaço coluna de é o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores , onde:

.

A dimensão do espaço coluna de é chamada de posto coluna da matriz.[2][3][4]

Propriedades do espaço linha[editar | editar código-fonte]

O espaço linha de uma matriz possui as seguintes propriedades:[2]

  1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.
  2. Se e são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.
Demonstração
1. O posto linha de uma matriz é menor ou igual ao número de colunas da mesma.

Seja uma matriz real . Então, os vetores linhas de formam um subconjunto do espaço euclidiano -dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo .

2. Se e são matrizes equivalentes por linha, então elas têm o mesmo posto linha.

Com efeito, se e são matrizes equivalentes por linha, então as linhas de são combinações lineares das linhas de e vice-versa. Portanto, o espaço vetorial gerado pelas linhas de é igual ao espaço vetorial gerado pelas linhas de , como queríamos demonstrar.

Propriedades do espaço coluna[editar | editar código-fonte]

O espaço coluna de uma matriz possui as seguintes propriedades:[2]

  1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.
  2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.
  3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.
Demonstração
1. O posto coluna de uma matriz é menor ou igual ao número de linhas da mesma.

Seja uma matriz real . Então, os vetores coluna de formam um subconjunto do espaço euclidiano -dimensional. Ou seja, a dimensão do espaço linha é no máximo .

2. O espaço imagem de uma transformação linear é igual ao espaço coluna da matriz que a represente.

Seja uma transformação linear do espaço euclidiano de dimensão no espaço euclidiano de dimenão . Seja, também, uma matriz que representa , i.e.:

.

Daí, vemos que pertence à imagem de se, e somente se, existe tal que . Ou seja, é uma combinação linear dos vetores coluna de , como queríamos demonstrar.

3. O posto de uma transformação linear é igual ao posto coluna de qualquer matriz que a represente.

Segue, imediatamente, da propriedade 2.

Relação entre os espaços linha e coluna[editar | editar código-fonte]

Os espaços linha e coluna de uma matriz possuem as seguintes relações:[2]

  1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.
  2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Observamos que a propriedade 2. justifica denotar o posto coluna e o posto linha de uma matriz por ou , sem referência a linha ou coluna.

Demonstração
1. O espaço coluna de uma matriz é igual ao espaço linha de sua transposta.

Com efeito, o espaço linha de uma matriz é o espaço gerado pelo conjunto de vetores que formam as linhas da mesma. Agora, as linhas da transposta de uma matriz são as colunas da matriz original, donde segue o enunciado.

2. O posto coluna de uma matriz é igual ao seu posto linha.

Por definição, o posto linha de uma matriz é a dimensão do seu espaço linha. Sejam uma matriz e a matriz escalonada reduzida por linha de . Então, o número de vetores coluna de que são linearmente independentes é igual ao número de uns principais da matriz . Mas, este é também o número de vetores linha de que são linearmente independentes. Como e são matriz equivalentes por linha, temos que elas têm o mesmo posto linha. Concluímos, então, que o ponto coluna de é igual ao seu posto linha.

Sejam os vetores coluna de uma matriz .

Relação fundamental[editar | editar código-fonte]

Se é uma matriz , então . Aqui, denota o posto de , enquanto denota sua nulidade.[2]

Demonstração

A nulidade de é a dimensão do espaço nulo de , i.e., a dimensão do espaço gerado pelas soluções de . Seja a matriz escalonada reduzida de . O posto de é igual ao número de linhas não nulas de , enquanto que a nulidade é igual a menos o número de linhas não nulas de . Ou seja, .

Posto e singularidade[editar | editar código-fonte]

Os seguintes resultados relacionam o conceito de singularidade com o posto de uma matriz quadrada:[2]

  1. Uma matriz quadrada é não singular se, e somente se, .
  2. O determinante de uma matriz é não nulo se, e somente se, .
  3. Um sistema linear quadrado de ordem tem uma única solução se, e somente se, .
  4. Um conjunto de vetores coluna de um espaço euclidiano -dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada tem determinante não nulo.
Demonstração
1. Uma matriz quadrada é não singular se, e somente se, .

Com efeito, é não singular se, e somente se, a nulidade de for igual a zero. O resultado segue, então da relação fundamental demonstrada acima.

2. O determinante de uma matriz é não nulo se, e somente se, .

Isto segue do resultados 1. demonstrado acima, uma vez que o determinante de uma matriz é não nulo se, e somente se, é não singular.

3. Um sistema linear quadrado de ordem tem uma única solução se, e somente se, .

Com efeito, um sistema linear quadrado de ordem tem uma única solução se, e somente se, é não singular. Portanto, este resultado segue do demonstrado no item 1. desta seção.

4. Um conjunto de vetores coluna de um espaço euclidiano -dimensional é linearmente independente se, e somente se, a matriz formada tem determinante não nulo.

Com efeito, uma matriz é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes.


Referências

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016. 
  2. a b c d e f g h Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  3. a b c Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
  4. a b c Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093