Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares $f:V\to K\,$.

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial $V\,$ sobre um corpo $K\,$ é costumeiramente denotado $V'\,$ ou $V^{*}\,$ e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

$(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\,$

$(a\phi )(x)=a\phi (x)\,$

Para todo $\phi ,\psi$ em $V^{*}$, $a$ em $K$ e $x$ em $V$.

Caso de dimensão finita

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja $\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}$ uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto $\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}$ onde:

$\mathbf {f} _{i}(\mathbf {e} _{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se $f\,$ é um funcional linear contínuo então existe um $v\in H\,$ tal que:

$f(x)=\langle v,x\rangle ,~~\forall x\in H\,$.