Média aritmética

A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre vários valores.

História

Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média. Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro; em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

$x-m=m-y\,$ (média aritmética)

${\frac {m}{y}}={\frac {x}{m}}\,$ (média geométrica)

${\frac {x-m}{x}}={\frac {m-y}{y}}\,$ (média harmônica)

que, após transformações, chegam às fórmulas:

$m={\frac {x+y}{2}}\,$ (média aritmética)

$m={\sqrt {xy}}\,$ (média geométrica)

${\frac {1}{m}}={\frac {1}{2}}({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}})\,$ (média harmônica)

Tipos de média aritmética

Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.

• Média aritmética simples

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo ${\bar {x}}$. Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+....+x_{n}}{n}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

• Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinônimo de "ponderação", respectivamente, indicado por: $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

${\bar {p}}={\frac {x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+....+x_{n}p_{n}}{p_{1}+p_{2}+....+p_{n}}}$

Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Exemplos

• Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será (5 + 7 + 9 + 10) / 4 = 7.75
• Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será (10 x 1 + 4 x 2) / (1 + 2). Teríamos então: (10 + 8) / 3. Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é: 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso (e não importa qual o valor do peso, importa apenas a relação entre os pesos), a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3) obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior (10 e 4), teríamos: (10 x 3 + 4 x 3) / (3 + 3). Continuando: (30 + 12) / 6. O resultado para pesos iguais será sempre: "7". Veja: (30 + 12) / 6 = 7.
• Um triângulo no plano tem vértices dados pelas coordenadas cartesianas (2, 1), (4, -1) e (3, 6). O seu baricentro é a média dos vértices, ou seja (3, 2).

Ver também

• Média biquadrática
• Média cúbica
• Média desarmônica
• Média geométrica
• Média harmônica
• Média quadrática
• Mediana
• Moda
• Valor esperado

Referências

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