Método de Runge-Kutta

Em análise numérica, os métodos de Runge–Kutta formam uma família importante de metódos iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. Estas técnicas foram desenvolvidas por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M.W. Kutta.

Veja o artigo sobre métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para maior entendimento e para outros métodos. Veja ainda a lista de métodos Runge-Kutta.

Trata-se de um método por etapas que tem a seguinte expressão genérica:

$u^{n+1}=u^{n}+\Delta t\sum _{i=1}^{e}b_{i}k_{i},$

onde

$k_{i}=F(u^{n}+\Delta t\sum _{j=i}^{e}a_{ij}k_{j};t_{n}+c_{i}\Delta t)$ $i=1,...,e$

com $a_{ij},b_{i},c_{i}$ constantes próprias do esquema numérico. Os esquemas Runge-Kutta podem ser explícitos ou implícitos dependendo das constantes $a_{ij}$ do esquema. Se esta matriz é triangular inferior com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero; quer dizer, $a_{ij}=0$ para $j=i,...,e,$ os esquemas são explícitos.

O método de runge-kutta é muitas vezes confundido com o metodo "predictor-corrector"sendo este o resultado da junção do método dos trapézios e do método de Euler.

O método Runge–Kutta clássico de quarta ordem

Um membro da família de métodos Runge–Kutta é usado com tanta frequência que costuma receber o nome de "RK4" ou simplesmente "o método Runge–Kutta".

Seja um problema de valor inicial (PVI) especificado como segue:

$$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$$

Então o método RK4 para este problema é dado pelas seguintes equações:

$${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{h \over 6}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}$$

onde $y_{n+1}$ é a aproximação por RK4 de $y(t_{n+1}),$ e

$${\begin{aligned}k_{1}&=f\left(t_{n},y_{n}\right)\\k_{2}&=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)\\k_{3}&=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)\\k_{4}&=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)\\\end{aligned}}$$

Então, o próximo valor (y_n+1) é determinado pelo valor atual (y_n) somado com o produto do tamanho do intervalo (h) e uma inclinação estimada. A inclinação é uma média ponderada de inclinações:

• k₁ é a inclinação no início do intervalo;
• k₂ é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação k₁ para determinar o valor de y no ponto t_n + h/2 através do método de Euler;
• k₃ é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação k₂ para determinar o valor de y;
• k₄ é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando k₃.

Ao fazer a média das quatro inclinações, um peso maior é dado para as inclinações no ponto médio:

$${\mbox{inclinação}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.$$

O método RK4 é um método de quarta ordem, significando que o erro por passo é da ordem de h⁵, enquanto o erro total acumulado tem ordem h⁴.

Note que as fórmulas acima são válidas tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais (ou seja, quando y pode ser um vetor e $f$ um operador). Por exemplo, pode-se integrar a equação de Schrödinger usando o operador Hamiltoniano como função $f.$

Métodos Runge–Kutta explícitos

A família de métodos Runge–Kutta explícitos é uma generalização do método RK4 mencionado acima.

Ela é dada por $$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},$$ onde $$k_{1}=f(t_{n},y_{n}),$$ $$k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),$$ $$k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),$$ $$\vdots$$ $$k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).$$

(Nota: as equações acima têm definições diferentes em diferentes textos, apesar de equivalentes).

Para especificar um método em particular, é necessário fornecer o inteiro s (número de estágios), e os coeficiêntes a_ij (para 1 ≤ j <i ≤ s), b_i (para i = 1, 2, ..., s) e c_i (para i = 2, 3, ..., s). Esses dados são geralmente dispostos de forma mnemônica, conhecida como matriz de Butcher (de John Charles Butcher):

	0
	$c_{2}$	$a_{21}$
	$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	$c_{s}$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_{s}$

O método Runge–Kutta é consistente se $$\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {para} \ i=2,\ldots ,s.$$

Existem ainda exigências extras se for imposto que o método tenha certa ordem p, significando que o erro de truncamento é O(h^p+1). Tais condições podem ser deduzida da própria definição de erro de truncamento. Por exemplo, um método de 2 estágios tem ordem 2 se b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, e b₂a₂₁ = 1/2.

Exemplos

O método RK4 se enquadra nesta categoria. Seu tableau é:

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

No entanto, o método Runge–Kutta mais simples é o (forward) Euler, dado pela fórmula $y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).$ Este é o único método Runge–Kutta explícito de um estágio que é consistente. A tableau correspondente é:

	0
		1

Um exemplo de um método de segunda ordem com dois estágios é o método do ponto médio (midpoint method, em inglês) $$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right).$$ A tableau correspondente é:

	0
	1/2	1/2
		0	1

Note que este método do 'ponto médio' não é o método RK2 ótimo. Uma alternativa é fornecida pelo método de Heun, onde os 1/2's da tableau acima são simplesmente substituídos por 1's. Caso se queira minimizar o erro de truncamento, o método abaixo deve ser utilizado (Atkinson p. 423). Outros métodos importantes são Fehlberg, Cash-Karp e Dormand-Prince. Leia ainda, o artigo sobre tamanho de passo Adaptativo.

Uso

O que segue é um exemplo de uso de um método Runge–Kutta explícito de dois estágios:

	0
	2/3	2/3
		1/4	3/4

para resolver o problema de valor inicial $$y'=(\tan {y})+1,\quad y(1)=1,\ t\in [1,1.1]$$ com tamanho de passo h=0.025.

A tableau acima gera as seguintes equações equivalentes que definem o método: $$k_{1}=y_{n}$$ $$k_{2}=y_{n}+2/3hf(t_{n},k_{1})$$ $$y_{n+1}=y_{n}+h(1/4f(t_{n},k_{1})+3/4f(t_{n}+2/3h,k_{2}))$$

$t_{0}=1$
	$y_{0}=1$
$t_{1}=1.025$
	$k_{1}=y_{0}=1$	$f(t_{0},k_{1})=2.557407725$	$k_{2}=y_{0}+2/3hf(t_{0},k_{1})=1.042623462$
	$y_{1}=y_{0}+h(1/4*f(t_{0},k_{1})+3/4*f(t_{0}+2/3h,k_{2}))=1.066869388$
$t_{2}=1.05$
	$k_{1}=y_{1}=1.066869388$	$f(t_{1},k_{1})=2.813524695$	$k_{2}=y_{1}+2/3hf(t_{1},k_{1})=1.113761467$
	$y_{2}=y_{1}+h(1/4*f(t_{1},k_{1})+3/4*f(t_{1}+2/3h,k_{2}))=1.141332181$
$t_{3}=1.075$
	$k_{1}=y_{2}=1.141332181$	$f(t_{2},k_{1})=3.183536647$	$k_{2}=y_{2}+2/3hf(t_{2},k_{1})=1.194391125$
	$y_{3}=y_{2}+h(1/4*f(t_{2},k_{1})+3/4*f(t_{2}+2/3h,k_{2}))=1.227417567$
$t_{4}=1.1$
	$k_{1}=y_{3}=1.227417567$	$f(t_{3},k_{1})=3.796866512$	$k_{2}=y_{3}+2/3hf(t_{3},k_{1})=1.290698676$
	$y_{4}=y_{3}+h(1/4*f(t_{3},k_{1})+3/4*f(t_{3}+2/3h,k_{2}))=1.335079087$

As soluções numéricas correspondem aos valores sublinhados. Note que $f(t_{i},k_{1})$ foi calculado evitando refazer os cálculos em $y_{i}$s.

Ligações externas

• «Runge-Kutta» 
• «Método Runge-Kutta de 4ª ordem» (PDF) 
• «Método Runge Kutta para E.D.O's» 
• «Método de Runge-Kutta». omonitor.io. Consultado em 28 de março de 2016 

Referências gerais

• J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0471967580
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)
• «Runge-Kutta 4th-order method textbook notes, PPT, Matlab Mathematica Maple Mathcad»  at Holistic Numerical Methods Institute
• Kendall E. Atkinson. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons - 1989
• F. Cellier, E. Kofman. Continuous System Simulation. Springer Verlag, 2006. ISBN 0-387-26102-8.