Desvio padrão

Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:

1. seja um número não-negativo;
2. use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra.

O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Definição e cálculo de desvio padrão

Desvio padrão de uma variável aleatória

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

$\operatorname {\sigma } ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}$

onde $\operatorname {E} (X)$ é o valor esperado de X.

Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.

Desvio padrão amostral

Se uma variável aleatória $\operatorname {X}$ toma os valores $\operatorname {x} _{1},\dots ,\operatorname {x} _{n}$, então o desvio padrão para esta amostra de $n$ números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de $\operatorname {X}$, Falhou a verificação gramatical (função desconhecida: "\overlinex"): {\displaystyle \overlinex}} , através de:

${\overline {x}}={\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

$s={\sqrt {{\dfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

A divisão por $n-1$ aparece quando exigimos que a variância amostral $\operatorname {s} ^{2}$ seja um estimador não tendencioso da variância populacional $\operatorname {\sigma } ^{2}$.

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

$s={\sqrt {{\dfrac {1}{(\sum _{i=1}^{k}{f_{i}})-1}}\sum _{i=1}^{k}((x_{i}-{\overline {x}})^{2}\times f_{i})}}$

onde $k$ é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:

1. Para cada valor $x_{i}$ calcula-se a diferença $x_{i}-{\overline {x}}$ entre $x_{i}$ e o valor médio ${\overline {x}}$.
2. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.
3. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.
4. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, $(n-1)$.Esta quantidade é a variância $s^{2}$.
5. Tome a raiz quadrática deste resultado.

O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula:

<math>s = \sqrt{\frac{\sum x_i^{2} - \frac{1}{n} (\sum x_i)^{2}}{n-1}}</math

Propriedades

A distribuição normal.

De uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio (ou mesocúrtica) podemos dizer o seguinte:

• 68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
• 95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
• 99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.

Esta informação é conhecida como a regra dos "68-95-99,7".

Ver também

• Coeficiente de variação
• Valor esperado
• Moda (estatística)
• Obliquidade
• Curtose

Ligações externas

• «Índice de Sharpe, definição e exemplos práticos». Aplicação do Desvio Padrão no Índice de Sharpe 

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