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Método de Frobenius

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Em matemática, o método de Frobenius, referente a Ferdinand Georg Frobenius, é uma maneira de encontrar uma solução em série infinita de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma

sendo

  e  

nas vizinhanças do ponto singular regular . Dividindo a expressão por , obtém-se a seguinte equação diferencial:

que não será solúvel pelo método das séries de potências se p(z)/z ou q(z)/z2 não forem analítica em z = 0. O método de Frobenius permite criar uma solução em série de potências para tal equação diferencial, contanto que p(z) e q(z) sejam analíticas em 0 ou, sendo analíticas em outro intervalo, contanto que os limites de p e q existam em z = 0 (e sejam finitos).

O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma:

Diferenciando em relação a

Substituindo na equação (1):

A expressão é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em

Usando isto, a expressão geral do coeficiente é dada por: Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita: A série formada pelos Ak acima, satisfaz Se é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raízes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).

Pontos singulares regulares

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Os pontos singulares da equação diferencial

são os pontos onde

Se os seguintes limites existem[1]:

diz-se que o ponto é um ponto singular regular.

Se for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma

A função é analítica em e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que é diferente de zero (se for nula, fatoriza-se e redefinem-se e ficando diferente de zero). [1]

Isso implica que a constante seja também diferente zero:

As derivadas e são

Para calcular o valor do índice primeiro observamos que

a seguir multiplicamos a equação diferencial por e dividimos por P

No limite e usando as constantes e definidas acima

Das equações obtemos:

Como é diferente de zero, deverá ser solução da chamada equação indicial:

Para cada raiz real da equação indicial substituímos as séries para e na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes [1]

Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.

Solução em séries em pontos singulares

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Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.

teorema Frobenius

Se e são duas raízes da equação indicial (em ) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em existem três casos, a depender dos valores de e


  • Se for diferente de zero e diferente de um número inteiro,

cada raiz conduz a uma solução diferente.


  • Se é possível obter uma única solução a partir do

método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:

onde a sucessão deverá ser obtida por substituição de na equação diferencial.[1]

  • Se for um número inteiro, existirá uma solução com a

forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:

onde é uma constante.[1]

Nos casos em que a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções e linearmente independentes.

Quando não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de na equação diferencial.[1]

Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:

Em alguns casos as condições fronteira exigem que seja finita na origem o qual implica se ou já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem.[1]

Se é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução será também nula e não será preciso calcular

Referências

  1. a b c d e f g Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013