Tempo local (matemática)

Uma amostra de um trajeto de um processo Itō junto com sua superfície de tempos locais.

Na teoria matemática dos processos estocásticos, o tempo local é um processo estocástico associado a processos de difusão como o movimento browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em determinado nível. O tempo local aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka. Também é estudado em mecânica estatística no contexto de campos aleatórios.

Definição formal

Para um processo de difusão real $(B_{s})_{s\geq 0}$, o tempo local de $B$ até o ponto $x$ é um processo estocástico. Matematicamente, a definição de tempo local é:

$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,ds$,

onde $B_{s}$ é o processo de difusão e $\delta$ é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A idéia básica é que $L^{x}(t)$ é uma medida (reescalonada) de quanto tempo $B_{s}$ dispendeu em $x$ até o momento $t$. Pode ser escrito como:

$L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,ds$,

que explica porque é chamado de tempo local de $B$ em $x$. Para um processo de espaço de estado discreto $(X_{s})_{s\geq 0}$, o tempo local pode ser expresso de forma mais simples como:

$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds$.

Fórmula de Tanaka

A fórmula de Tanaka fornece uma definição de tempo local para um semimartingale contínuo arbitrário $(X_{s})_{s\geq 0}$ em $\mathbb {R}$:

$L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)dX_{s},\qquad t\geq 0$.

Uma forma mais geral foi provada independentemente por Meyer e Wang; a fórmula estende o lema de Itô para duas funções diferenciáveis para uma classe mais geral de funções. Se$F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ é absolutamente contínuo com a derivada $F'$, que é de variação limitada, então:

$F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)dF'(x)$,

onde $F'_{-}$ é a derivada esquerda.

Se $X$ é um movimento browniano, então para qualquer $\alpha \in (0,1/2)$ o campo de tempos locais $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ tem uma modificação que é Hölder contínua em $x$com expoente $\alpha$, uniformemente para $x$ e $t$. Em geral, $L$ tem uma modificação que é contínua em $t$ e càdlàg em $x$.

A Fórmula de Tanaka fornece a forma explícita decomposição de Doob-Meyer para o movimento browniano refletido unidimensional, $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$.

Teoremas Ray–Knight

O campo de tempos locais $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ associado a um processo estocástico no espaço $E$ é um tema bem estudado na área de campos aleatórios. Os teoremas do tipo Ray-Knight relacionam o campo $L_{t}$ com um processo Gaussiano associado.

Em geral, os teoremas Ray-Knight do primeiro tipo consideram o campo $L_{t}$ em um momento de batimento do processo subjacente, enquanto que os teoremas do segundo tipo são em termos de um tempo de parada no qual o campo de tempos locais primeiro excede um dado valor.

Primeiro teorema de Ray–Knight

Seja $(B_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional $B_{0}=a>0$, e $(W_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano bidimensional padrão $W_{0}=0\in R^{2}$. Para definir o tempo de parada em que $B$ primeiro atinge a origem, $T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}$, Ray e Knight (independentemente) mostraram que,

${\mathbf {(1)}}\left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,$

onde $(L_{t})_{t\geq 0}$ é o campo dos tempos locais de $(B_{t})_{t\geq 0}$, e a igualdade está na distribuição $C[0,a]$. O processo $|W_{x}|^{2}$ é conhecido como o processo de Bessel ao quadrado.

Segundo teorema Ray–Knight

Seja $(B_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional padrão $B_{0}=0\in R$, e seja $(L_{t})_{t\geq 0}$ um campo associado dos tempos locais. Seja $T_{a}$ a primeira vez em que o tempo local em zero excede $a>0$

$T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.$

Seja $(W_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional independente $W_{0}=0$, então

${\mathbf {(2)}}\left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,$

Equivalentemente, o processo $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ (que é um processo na variável espacial $x$) é igual na distribuição ao quadrado de um processo de Bessel de dimensão 0, e como tal é markoviano.

Generalização dos teoremas de Ray–Knight

Os resultados do tipo Ray-Knight para processos estocásticos mais gerais têm sido intensamente estudados e as declarações (1) e (2) são conhecidos por processos Markov fortemente simétricos.

Veja também

• Fórmula de Tanaka
• Movimento browniano
• Ruído vermelho, também conhecido como ruído marrom (Martin Gardner propôs este nome para som gerado com intervalos aleatórios. É um trocadilho sobre o movimento browniano e ruído branco.)
• Equação de difusão

Bibliografia

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
• P.Mortars and Y.Peres, Brownian Motion, 1st edition, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.