Fórmula do somatório de Poisson

A fórmula de soma de Poisson (às vezes chamada de retomada de Poisson ) é uma identidade entre duas somas infinitas, a primeira construída com uma função f, a segunda com sua transformada de Fourier ${\hat {f}}$. Aqui, f é uma função na linha real ou mais geralmente em um espaço euclidiano . A fórmula foi descoberta por Siméon Denis Poisson . Ela, e suas generalizações, são importantes em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise harmônica e geometria Riemanniana . Uma das maneiras de interpretar a fórmula unidimensional é ver uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami no círculo e os comprimentos da geodésica periódica nessa curva. A fórmula dos traços de Selberg, na interface de todos os domínios mencionados acima e também da análise funcional, estabelece uma relação do mesmo tipo, mas com um caráter muito mais profundo, entre o espectro Laplaciano e os comprimentos da geodésica na região de superfícies com curvatura constante negativa (enquanto as fórmulas de Poisson na dimensão n estão relacionadas ao Laplaciano e à geodésica periódica dos toros, espaços de curvatura zero).

Fórmula do somatório de Poisson

Convenção

Para qualquer função f a valores complexos e integrados em ℝ, é chamada transformada de Fourier de f a aplicação ${\hat {f}}$ definido por

$\forall x\in \mathbb {R} \quad {\hat {f}}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xt}~\mathrm {d} t.$

Teorema

Seja a número real positivo e ωo = 2π/a

Se f é uma função contínua de ℝ in ℂ e integrável de modo que

$\exists C>0$ , $\exists \alpha >1$ ,  $\forall x\in \mathbb {\mathbb {R} }$ , $|f(x)|\leq {\frac {C}{(1+|x|)^{\alpha }}}$

e

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(m\omega _{0})|<\infty$

então

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(t+na)={\frac {1}{a}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(m\omega _{0}){\rm {e}}^{{\rm {i}}m\omega _{0}t}.$

Demonstração

O lado esquerdo da fórmula é a soma S de uma série de funções contínuas. A primeira das duas hipóteses em f implica que esta série normalmente converge para qualquer parte delimitada de ℝ. Portanto, sua soma é uma função contínua. Além disso, S é a periódico por definição. Podemos, portanto, calcular os coeficientes complexos de sua série de Fourier:

$c_{m}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{a}S(t){\rm {e}}^{-\mathrm {i} m\omega _{0}t}\mathrm {d} t={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}t}~\mathrm {d} t$

A reversão integral em série sendo justificada pela convergência normal da série que define S. Deduzimos

$c_{m}={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{a}f(t+na){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}(t+na)}~\mathrm {d} t={\frac {1}{a}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{na}^{(n+1)a}f(s){\rm {e}}^{-{\rm {i}}m\omega _{0}s}~\mathrm {d} s={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\rm {e}}^{-\mathrm {i} m\omega _{0}s}~\mathrm {d} s={\frac {1}{a}}{\hat {f}}(m\omega _{0}).$

De acordo com a segunda hipótese em f, a série de cm é, portanto, absolutamente convergente . Somando a série Fourier de S, obtemos $S(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{m}{\rm {e}}^{\mathrm {i} mt\omega _{0}}={\frac {1}{a}}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m\omega _{0}){\rm {e}}^{\mathrm {i} mt\omega _{0}}.$

Convenção alternativa

Se as seguintes convenções forem usadas  :

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {F}}(\nu ){\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi x\nu }~\mathrm {d} \nu ,$

${\tilde {F}}(\nu )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\rm {e}}^{+{\rm {i}}2\pi x\nu }~\mathrm {d} x,$

então a fórmula da soma de Poisson é reescrita (com t = 0 e a = 1 )  :

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\tilde {F}}(m).$

Sobre as condições de convergência

Uma maneira prática de superar as condições de regularidade impostas à função f é colocar-se no contexto mais geral da teoria das distribuições . Se notarmos $\delta (x)$ a distribuição Dirac, se introduzirmos a seguinte distribuição  :

$\Delta (x)\equiv \sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta (x-n),$

uma maneira elegante de reformular a soma é dizer que $\Delta (x)$ é sua própria transformação de Fourier.

Aplicações da retomada de Poisson

Os exemplos mais básicos dessa fórmula são usados para determinar somas simples de números inteiros  :

$S\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}},$

ou mesmo  :

$S\equiv -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{4}}}={\frac {7\pi ^{4}}{720}}.$

Nós os convertemos em séries geométricas que podem ser somadas com precisão.

Em geral, a retomada de Poisson é útil na medida em que uma série que converge lentamente no espaço direto pode ser transformada em uma série que converge muito mais rapidamente no espaço de Fourier (se usarmos o exemplo de Funções gaussianas, uma lei normal de grande variação no espaço direto é convertida em uma lei normal de pequena variação no espaço de Fourier). Essa é a ideia essencial por trás da soma de Ewald .

Interpretação geométrica

Definições

O círculo, ou toro T em uma dimensão, é uma curva compacta que pode ser representada como o espaço quociente da linha euclidiana ℝ por um subgrupo discreto a ℤ do grupo das isométricas  :

$T=\mathbb {R} /a\mathbb {Z} .$

Geodésicas periódicas

As geodésicas periódicas do toro plano tem comprimentos dados por:

$l_{n}=na,\quad n\in \mathbb {N} .$

Espectro do operador Laplace-Beltrami

Considere o operador Laplace-Beltrami em T  :

$\Delta u(x)={\frac {{\rm {d}}^{2}u(x)}{{\rm {d}}x^{2}}}.$

Vamos procurar em particular seus autovalores $\lambda _{n}$, soluções da equação com autovalores  :

$-\Delta u_{n}(x)=\lambda _{n}u_{n}(x).$

onde as funções próprias $u_{n}$ estão $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ e verifique a condição da periodicidade  :

$\forall p\in \mathbb {Z} \quad u_{n}(x+pa)=u_{n}(x).$

Esses autovalores formam um todo contável que pode ser classificado em uma sequência crescente  :

$0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}={\frac {4\pi ^{2}n^{2}}{a^{2}}}.$

Generalizações

Podemos facilmente formular uma generalização dessa fórmula na dimensão n . Dada uma rede $\Lambda \subset \mathbb {R} ^{n}$ então podemos definir a rede dupla $\Lambda '$ (como formas no espaço vetorial duplo com valores inteiros em $\Lambda$ ou através da dualidade de Pontryagin ). Portanto, se considerarmos a distribuição de Dirac multidimensional, ainda notamos $\delta (x)$ com $x\in \mathbb {R} ^{n}$, podemos definir a distribuição

$\Delta _{\Lambda }(x)=\sum _{\lambda \in \Lambda }\delta (x-\lambda ).$

Desta vez, obtemos uma fórmula de soma de Poisson observando que a transformada de Fourier de $\Delta _{\Lambda }(x)$ é $\Delta _{\Lambda '}(x)$ (considerando uma normalização apropriada da transformação de Fourier).

Essa fórmula é frequentemente usada na teoria das funções teta. Na teoria dos números, podemos generalizar ainda mais essa fórmula no caso de um grupo abeliano localmente compacto . Na análise harmônica não comutativa, essa ideia é levada ainda mais longe e leva à fórmula dos traços de Selberg e assume um caráter muito mais profundo.

Um caso especial é o de grupos abelianos finitos, para os quais a fórmula da soma de Poisson é imediata ( cf. Análise harmônica em um grupo abeliano finito ) e tem muitas aplicações teóricas em aritmética e aplicada, por exemplo, em teoria de códigos e criptografia ( cf. Função booleana ).

Bibliografia

• (em inglês) Matthew R. Watkins, « D. Bump's notes on the Poisson Summation Formula » (page personnelle)

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Poisson summation formula», especificamente desta versão.