Produto escalar

Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado. É o produto interno padrão do espaço euclidiano.

O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.

Definição

Geométrica

Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção de A em B.

O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por $\cdot$ ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.

${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}=\left\|{\mathbf {A}}\right\|\left\|{\mathbf {B}}\right\|\cos \theta$

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.

Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {A}}=\left\|{\mathbf {A}}\right\|\left\|{\mathbf {A}}\right\|\cos 0=\left\|{\mathbf {A}}\right\|^{2}$

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:

$\theta =\arccos {\frac {{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}}{\left\|{\mathbf {A}}\right\|\left\|{\mathbf {B}}\right\|}}$

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.

Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.

Algébrica

Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como

${\mathbf {A}}=\left(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\right)$ e

${\mathbf {B}}=\left(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\right),$

o produto escalar entre A e B é:

${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

Note que a interpretação do produto escalar como a projeção do vetor na direção de outro, neste caso, está longe de ser óbvia. No entanto a expressão acima nos fornece uma forma de obter o comprimento de um vetor qualquer em termos de suas componentes:

$\left\|{\mathbf {A}}\right\|={\sqrt {{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {A}}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}$

Propriedades

O produto escalar de vetores tem as seguintes propriedades:

• ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}={\mathbf {B}}\cdot {\mathbf {A}}$ (comutativa).
• ${\mathbf {A}}\cdot \left({\mathbf {B}}+{\mathbf {C}}\right)={\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}+{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {C}}$ (distributiva em relação à soma de vetores).
• $\left(n_{1}{\mathbf {A}}\right)\cdot \left(n_{2}{\mathbf {B}}\right)=\left(n_{1}n_{2}\right)\left({\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {B}}\right)$