Em matemática e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.[1]
O adjunto de um operador é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de (em homenagem a Charles Hermite) e é denotado por ou , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.[2]
O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra .
Seja um espaço vetorial finito sobre o corpo complexo e dois vetores ortonormais contidos na base canônica desse espaço vetorial. Para qualquer dois vetores contidos nesse espaço na base canônica teremos que
.
Assim considere o operador ( é endomórfico a ), suas componentes são dadas por
mas note que
portanto
desse modo
portanto o adjunto de um operador representado matricialmente é igual à transposta da sua matriz com os conjugados complexos tomados.
Um operador que atua num determinado espaço vetorial é dito hermitiano se satisfaz
Um exemplo de operador hermitiano é o operador momento, visto na mecânica quântica. Suas componentes na base do operador posição são encontradas a partir da relação de completeza (estamos supondo que o espaço vetorial onde esses operadores atuam é completo)
pois as componentes do operador de derivação não são hermitianas (é anti-hermitiano)
Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear em um espaço de Hilbert é um operador antilinear com a propriedade:
é formalmente semelhante à definição de propriedades de pares de functores adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.
Sejam espaços de Banach . Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear , onde é um subespaço de , chamado domínio de . Dizemos que o operador é densamente definido quando .
Dado um operador linear ilimitado densamente definido, o seu Operador Adjunto é um operador linear ilimitado
que definiremos a seguir.
Primeiramente, definimos o domínio de como sendo o conjunto formado pelos funcionais tais que são contínuos, em outras palavras
Note que, se , então tal que
Agora, podemos definir em . De fato, dado , como é denso em , existe uma única que estende [5]. Assim, definimos . Em particular, temos a seguinte relação fundamental entre e :