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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição

Em sua forma diferencial a Lei de Gauss pode ser escrita como ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {E}}={\rho ({\overrightarrow {r}}) \over \epsilon _{o}}$ , onde

${\overrightarrow {\nabla }}\cdot f={\partial f_{x} \over \partial x}+{\partial f_{y} \over \partial y}+{\partial f_{z} \over \partial z}.$

Neste caso $\rho ({\overrightarrow {r}})$ é a densidade de carga em cada ponto. Vantagem no caso da lei de Gauss na forma diferencial, diferente da integral que usa as informações gerais do sistema, usa-se apenas as informações locais do sistema, chamadas condições de contorno.

Em casos onde a variável desejada é dada por uma integral complicada de calcular até mesmo para os casos simples, por exemplo: o campo elétrico dado por uma distribuição de cargas estacionárias, neste caso podemos calcular utilizando o potencial

${\overrightarrow {E}}=-{\overrightarrow {\nabla }}V$ , como ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {E}}={\rho ({\overrightarrow {r}}) \over \epsilon _{o}}$ ,

na ausência de cargas: $\rho =0$, então :$\nabla \cdot \nabla V=0$.

Geralmente escrito na forma $\nabla ^{2}f=0$

onde $\scriptstyle \nabla ^{2}$ é o laplaciano, ou

$\nabla \cdot \nabla f=0\,$

onde $\scriptstyle \nabla \cdot$ é o divergente e $\scriptstyle \nabla$ é o gradiente, ou ainda

$\Delta f=0\,$

onde Δ é outra forma de representar o laplaciano.

As soluções para a equação de Laplace são chamadas funções harmônicas.

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais $\scriptstyle f$ duplamente diferenciáveis, de variáveis reais x, y e z, tais que:

- em coordenadas cartesianas

${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.$

- em uma dimensão

${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}=0.$

onde a solução geral é dada por: $f(x)=\alpha x+\beta$

- em duas dimensões

${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}=0.$

- em coordenadas cilíndricas,

${1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0$

- em coordenadas esféricas,

${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \varphi }{\partial \over \partial \varphi }\left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\varphi }{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0$

Quando acrescentamos ao lado direito dessa equação uma dada função g(x, y, z), isto é, se a equação for escrita como

$\nabla ^{2}f=g\,$

então ela é chamada de "Equação de Poisson".

A equação de Laplace e a equação de Poisson são os exemplos mais simples de equações elípticas em derivadas parciais, sendo que o operador diferencial parcial, o laplaciano, $\scriptstyle \nabla ^{2}$ ou $\scriptstyle \Delta$ pode ser definido em qualquer número de dimensões.

Condições de contorno

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet

O caso mais simples é quando o valor da função é especificado sobre o contorno especificado a seguir$\partial D$ do domínio $D$:

${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$

Problema de Neumann

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

${\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.$

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D e aplicando a primeira identidade de Green:

$0=\int _{D}0dx=\int _{D}\triangle \varphi dx=\int _{\partial D}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi dS(x)=\int _{\partial D}gdS(x)$

Referências

• David Griffiths - Introduction to electrodynamics - third edition
• H. Moysés Nussenzveig - curso de física básica 3 eletromagnetismo

Ver também

• Equação de Poisson