Primo de Mersenne

Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma M_n = 2ⁿ – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M₁ = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.

Assim: M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31, M₇ = 127, M₁₃ = 8.191, M₁₇ = 131.071, M₁₉ = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos.
Mas: M₀ = 0 (composto, par); M₁ = 1 (singular, ímpar); M₄ = 15, M₆ = 63, M₈ = 255, M₉ = 511, M₁₀ = 1.023, M₁₁ = 2.047, M₁₂ = 4.095... etc. (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).

É o maior número primo conhecido. O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 ^{136 279 841} - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.^[1]

História

Tabela de conjecturas de Mersenne: n ≤ 263

P: M_n é Mersenne prime —: M_n é o número composto de Mersenne Ciano: Mersenne tinha planejado Rosa: ele tinha planejado o oposto
n	2	3	5	7	11	13	17	19
M_n	P	P	P	P	—	P	P	P
n	23	29	31	37	41	43	47	53
M_n	—	—	P	—	—	—	—	—
n	59	61	67	71	73	79	83	89
M_n	—	P	—	—	—	—	—	P
n	97	101	103	107	109	113	127	131
M_n	—	—	—	P	—	—	P	—
n	137	139	149	151	157	163	167	173
M_n	—	—	—	—	—	—	—	—
n	179	181	191	193	197	199	211	223
M_n	—	—	—	—	—	—	—	—
n	227	229	233	239	241	251	257	263
M_n	—	—	—	—	—	—	—	—

Os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como atualmente conhecidos, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M₆₁, M₈₉, M₁₀₇ (que são primos), bem como incluiu impropriamente M₆₇ e M₂₅₇ (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.^[1]

Marin Mersenne

Assim como os números de Mersenne, chamam-se assim esses números em honra ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne (Oizé, 8 de setembro de 1588 - Paris, 1 de setembro de 1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. Dos estudos matemáticos, em especial na teoria dos números, notabilizou-o sobretudo a sua contribuição relativa aos chamados primos de Mersenne.^[1]

Propriedades

Um resultado elementar sobre os números de Mersenne afirma que se $2^{n}-1$ é um número primo, então n também é um número primo. Isso porque o polinômio $x^{nm}-1$ é divisível pelo polinômio $x^{n}-1$ :^[1]

x^{nm}-1=(x^{n}-1)*\sum _{i\mathop {=} 1}^{m}x^{i-1}\,

e os dois fatores, para $x=2$ , são números maiores que 1.

Uma das questões em aberto na matemática é se existem finitos ou infinitos primos de Mersenne.

Uma outra propriedade é que sabendo que $x^{n}-1$ é divisível pelo polinómio $x-1$ podemos admitir que só com $x=2$ é que se podem obter números primos em expressões do tipo $x^{n}-1$ .

Recorde atual (2024)

O número é um tipo especial de primo chamado primo de Mersenne que é da forma 2 elevado a alguma potência menos 1; neste caso, 2 ^{136 279 841} - 1, que tem 41 024 320 dígitos. Assumindo 3 000 caracteres por página, imprimi-lo levaria mais de 13 000 páginas. O novo grande primo foi encontrado usando um algoritmo otimizado para rodar em unidades de processamento gráfico (GPUs) da NVIDIA, os poderosos chips usados em muitas aplicações de IA. Apenas 52 primos de Mersenne são conhecidos e, em notação binária, eles consistem em todos os 1s.

Primos de Mersenne conhecidos

Abaixo esetão listados os números primos de Mersenne conhecidos, acompanhados dos descobridores e época. Nota-se que para os maiores primos de Mersenne somente por meio de computação assistida por artefatos construídos pelo gênio inventivo humano tem sido possível a descoberta. Para mais detalhes, ver Grupo de Busca dos Números Primos de Mersenne, Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS.

#	n	M_n	Digitos em M_n	Data de descobrimento	Descobridor
1	2	3	1	Antiguidade	Antiguidade
2	3	7	1	Antiguidade	Antiguidade
3	5	31	2	Antiguidade	Antiguidade
4	7	127	3	Antiguidade	Antiguidade
5	13	8.191	4	1456	anônimo
6	17	131.071	6	1588	Cataldi
7	19	524.287	6	1588	Cataldi
8	31	2.147.483.647	10	1772	Euler
9	61	2.305.843.009.213.693.951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449.562.111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010.288.127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884.105.727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115.057.151	157	30 de janeiro de 1952	Robinson
14	607	531137992…031.728.127	183	30 de janeiro de 1952	Robinson
15	1.279	104079321…168.729.087	386	25 de junho de 1952	Robinson
16	2.203	147597991…697.771.007	664	7 de outubro de 1952	Robinson
17	2.281	446087557…132.836.351	687	9 de outubro de 1952	Robinson
18	3.217	259117086…909.315.071	969	8 de setembro de 1957	Riesel
19	4.253	190797007…350.484.991	1.281	3 de novembro de 1961	Hurwitz
20	4.423	285542542…608.580.607	1.332	3 de novembro de 1961	Hurwitz
21	9.689	478220278…225.754.111	2.917	11 de maio de 1963	Gillies
22	9.941	346088282…789.463.551	2.993	16 de maio de 1963	Gillies
23	11.213	281411201…696.392.191	3.376	2 de junho de 1963	Gillies
24	19.937	431542479…968.041.471	6.002	4 de março de 1971	Tuckerman
25	21.701	448679166…511.882.751	6.533	30 de outubro de 1978	Noll e Nickel
26	23.209	402874115…779.264.511	6.987	9 de fevereiro de 1979	Noll
27	44.497	854509824…011.228.671	13.395	8 de abril de 1979	Nelson e Slowinski
28	86.243	536927995…433.438.207	25.962	25 de setembro de 1982	Slowinski
29	110.503	521928313…465.515.007	33.265	25 de setembro de 1988	Colquitt e Welsh
30	132.049	512740276…730.061.311	39.751	20 de setembro de 1983	Slowinski
31	216.091	746093103…815.528.447	65.050	6 de setembro de 1985	Slowinski
32	756.839	174135906…544.677.887	227.832	19 de setembro de 1992	Slowinski e Gage
33	859.433	129498125…500.142.591	258.716	10 de janeiro de 1994	Slowinski e Gage
34	1.257.787	412245773…089.366.527	378.632	3 de setembro de 1996	Slowinski e Gage
35	1.398.269	814717564…451.315.711	420.921	13 de novembro de 1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2.976.221	623340076…729.201.151	895.932	24 de agosto de 1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3.021.377	127411683…024.694.271	909.526	27 de janeiro de 1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6.972.593	437075744…924.193.791	2.098.960	1 de junho de 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13.466.917	924947738…256.259.071	4.053.946	14 de novembro de 2001	GIMPS / Michael Cameron
40	20.996.011	125976895…855.682.047	6.320.430	17 de novembro de 2003	GIMPS / Michael Shafer
41	24.036.583	299410429…733.969.407	7.235.733	15 de maio de 2004	GIMPS / Josh Findley
42^*	25.964.951	122164630…577.077.247	7.816.230	18 de fevereiro de 2005	GIMPS / Martin Nowak
43^*	30.402.457	315416475…652.943.871	9.152.052	15 de dezembro de 2005	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [1]
44^*	32.582.657	124575026…053.967.871	9.808.358	4 de setembro de 2006	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [2]
45^*	37.156.667	202254406…308.220.927	11.185.272	6 de setembro de 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46^*	42.643.801	169873516…562.314.751	12.837.064	12 de abril de 2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47^*	43.112.609	316470269…697.152.511	12.978.189	23 de agosto de 2008	GIMPS / Edson Smith
48^*	57.885.161	581887266…724.285.951	17.425.171	25 de janeiro de 2013	GIMPS / Curtis Cooper
49^*	74.207.281	300376418084…391086436351	22.338.618	7 de janeiro de 2016	GIMPS / Curtis Cooper
50^*	77.232.917	467333183359...069762179071	23.249.426	26 de dezembro de 2017	GIMPS / Jonathan Pace
51^*	82.589.933	148894445742...325217902591	24.862.048	7 de dezembro de 2018	GIMPS / Patrick Laroche
52	136.279.841	881694327503...219486871551	41.024.320	21 de outubro de 2024	GIMPS / Luke Durant

(*) A tabela acima não é discretamente exaustiva em todo o intervalo apresentado. Até agora ( domingo, 17 de novembro de 2024 16h31min (UTC)), do que a tabela contém, sabe-se (por critérios algorítmicos de busca exaustiva) que todos os primeiros primos de Mersenne de M₂ a M_13.466.917 já foram identificados e são ali listados. Entretanto, entre os primos M_{25 964 951} e M_{57 885 161} (respetivamente, 42º e 48º elementos da lista), não se tem registro oficial de outros primos de Mersenne — o que não significa poder afirmar-se inequivocamente não os haja: os intervalos são cada vez maiores e as buscas são cada vez mais trabalhosas. Como exemplo histórico, cite-se que o 29.º primo de Mersenne foi descoberto somente após os 30º e 31º. É digno de nota que após a descoberta de M_[46º], em apenas 14 dias descobriu-se um primo de Mersenne menor (M_[45º], conforme acima citado).

Padrão de distribuição dos expoentes dos números primos de Mersenne módulo 12:^[2]

Congruência 1 (mod 12): 21,15%

Congruência 5 (mod 12): 40,38%

Congruência 7 (mod 12): 25,00%

Congruência 11 (mod 12): 9,62%

Números separados por congruência (mod 12):

Congruência 1: [13, 61, 2281, 3217, 23209, 44497, 132049, 13466917, 30402457, 42643801, 74207281]

Congruência 5: [5, 17, 89, 521, 4253, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 859433, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 32582657, 43112609, 57885161, 77232917, 82589933, 136279841]

Congruência 7: [7, 19, 31, 127, 607, 1279, 2203, 4423, 110503, 216091, 1257787, 20996011, 24036583]

Congruência 11: [107, 86243, 756839, 25964951, 37156667]

E todos os primos Mercenne maiores que 5 são congruentes a 7 módulo 12

Ver também

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d «Great Internet Mersenne Prime Search - PrimeNet». www.mersenne.org. Consultado em 14 de novembro de 2024
↑ «Fermat's Library | Melhorias: DESVENDANDO PADRÕES EM NÚMEROS PRIMOS POR POSIÇÃO, UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL E MATEMÁTICA INOVADORA. annotated/explained version.». Fermat's Library. Consultado em 31 de outubro de 2024

Fontes

Paulo Ribenboim. The new Book of Prime Number Records. [S.l.: s.n.]

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[:0-1] «Great Internet Mersenne Prime Search - PrimeNet». www.mersenne.org. Consultado em 14 de novembro de 2024

[2] «Fermat's Library | Melhorias: DESVENDANDO PADRÕES EM NÚMEROS PRIMOS POR POSIÇÃO, UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL E MATEMÁTICA INOVADORA. annotated/explained version.». Fermat's Library. Consultado em 31 de outubro de 2024

[1]

[2]

v d e Classes de números primos
Por fórmula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Duplo de Mersenne $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Fatorial ( $n! \pm 1$ ) Euclides ( $p n # + 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Por propriedade	Wall–Sun–Sun Pillai
Dependentes de base	Palíndromo Omirp Circular Estrobogramático
Padrões	Gêmeos ( $p, p + 2$ ) Chen Equilibrado ( $consecutivos p - n, p, p + n$ )
Por dimensão	Maior conhecido
Números compostos	Pseudoprimo Número de Carmichael Quase-primo Semiprimo Número esfênico Interprimo Pernicioso
Tópicos relacionados	Ilegal Intervalo entre primos
Lista de números primos