Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares $f:V\to K\,$.

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

A existência de um espaço vetorial 'dual' reflete de uma maneira abstrata a relação entre os vetores fila (1×n) e os vetores coluna (n×1) de uma matriz. A construção pode se dar também para os espaços infinito-dimensionais e dá lugar a modos importantes de ver as medidas, as distribuições e o espaço de Hilbert. O uso do espaço dual é, assim, de uma certa maneira, recurso da análise funcional. É também inerente à transformação de Fourier.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial $V\,$ sobre um corpo $K\,$ é costumeiramente denotado $V'\,$ ou $V^{*}\,$ e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

$(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\,$

$(a\phi )(x)=a\phi (x)\,$

Para todo $\phi ,\psi$ em $V^{*}$, $a$ em $K$ e $x$ em $V$.

Caso de dimensão finita

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja $\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}$ uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto $\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}$ onde:

$\mathbf {f} _{i}(\mathbf {e} _{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}i=j\\0,&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

Exemplos

Se a dimensão de V é finita, então V* tem a mesma dimensão que V; se { e₁,..., e _n} é uma base para V, então a base dual associada { e¹,...,e ⁿ} de V* é dada por:

$e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si }}i=j\\0,&{\mbox{si }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

Específicamente, se é interpretado Rⁿ como espaço de colunas de n números reais, seu espaço dual é escrito tipicamente como o espaço de linhas de n números. Tal linha atua em Rⁿ como funcional linear pela multiplicação ordinária de matrizes.

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se $f\,$ é um funcional linear contínuo então existe um $v\in H\,$ tal que:

$f(x)=\langle v,x\rangle ,~~\forall x\in H\,$.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Dual Space» (em inglês). MathWorld 
• dual space - PlanetMath