Ação de Einstein–Hilbert

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A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:[1]

S= - {1 \over 2\kappa}\int R \sqrt{-g} d^4x \;,

onde g é o determinante do tensor métrico, R é o escalar de curvatura de Ricci, e \kappa = 8\pi Gc^{-4}, onde G é a constante gravitacional de Newton e c é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

Definição[editar | editar código-fonte]

A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.

Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.

Derivação das equação de campo de Einstein[editar | editar código-fonte]

Suponha que toda ação da teoria seja dada pelo termo de Einstein-Hilbert mais um termo \mathcal{L}_\mathrm{M} que descreva qualquer campo de matéria que apareça na teoria.

S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \, R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

O princípio de Hamilton então indica que a variação destas ações com respeito à métrica inversa é zero, ou seja


\begin{align}
0 & = \delta S \\
  & = \int
         \left[
            {1 \over 2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} +
            \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
         \right] \delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\
  & = \int
        \left[
           {1 \over 2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} +
             \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} }
            \right) +
           \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
        \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x.
\end{align}

Já que estas equação devem obedecer qualquer variação \delta g^{\mu\nu} \ , isto implica que

  \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}}

= - 2 \kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}},

é a equação de movimento para o campo métrico. O lado direito desta equação é, por definição, proporcional ao tensor de energia-momento,

 T_{\mu\nu}:=  \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}

= -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

Variações do tensor de curvatura, do tensor de Ricci e do escalar de Ricci[editar | editar código-fonte]

Para calcular as variações do escalar de Ricci calcula-se primeiro a variação do tensor de curvatura e a variação do tensor de Ricci. O tensor de curvatura é definido como

 {R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma},

Já que o tensor de curvatura depende apenas da conexão de Levi-Civita  \Gamma^\lambda_{\mu\nu}, a variação do tensor de curvatura pode ser calculado como,

\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
- \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

Agora temos \delta\Gamma^\rho_{\nu\mu} que é a diferença de duas conexões, isto é um tensor e pode-se calcular isto como derivadas convariantes,

\nabla_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) = \partial_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) + \Gamma^\rho_{\sigma\lambda} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - \Gamma^\sigma_{\nu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\sigma\mu} - \Gamma^\sigma_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}

Observa-se agora que a expressão da variação do tensor de curvatura acima é igual à diferença de ambos os termos,

\delta R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\mu\sigma}).

Agora pode-se obter a variação do tensor de curvatura de Ricci simplesmente pela contração dos dois índices da variação do tensor de curvatura,

 \delta R_{\mu\nu} \equiv \delta R^\rho{}_{\mu\rho\nu} = \nabla_\rho (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\rho\mu}).

O escalar de Ricci é definido como

 R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.\!

Logo sua variação com respeito a métrica inversa g^{\mu\nu} é obtida por


\begin{align}
\delta R &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}\\
         &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \nabla_\sigma \left( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} \right)
\end{align}

Na segunda linha utilizou-se o último resultado obtido para a variação de curvatura de Ricci e a compatibilidade métrica do convariante derivativo, \nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0 .

O último termo \nabla_\sigma ( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} ) é uma derivada total e pelo teorema de Stokes obtem-se,

\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}.

Variação do determinante[editar | editar código-fonte]

A formula de Jacobi para diferenciação entre determinantes, nos dá:

\,\! \delta g = g \, g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

ou pode-se transformar num sistema de coordenadas, onde g_{\mu\nu}\! é diagonal e então aplica-se o produto para se diferenciar os fatores da diagonal principal.

Então obtém-se

\begin{align}
\delta \sqrt{-g}
&= -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g
&= \frac{1}{2} \sqrt{-g} (g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu})
&= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} (g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}),\end{align}

e conclui-se que

\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu} .

Equação de movimento[editar | editar código-fonte]

Após se calcular todas as variações acima, pode-se inferir delas a equação de movimento para campos métricos para, obtendo-se,

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu\nu},

que é a equação de campo de Einstein e

\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}

foi escolhida porque para limites não relativísticos ela respeita a lei da gravitação universal, onde G é a constante gravitacional.

Constante cosmológica[editar | editar código-fonte]

Algumas vezes, uma constante cosmológica A é incluída na função de Lagrange então para a nova ação

S = \int  \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x

onde a equação de campo

R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu \nu} \,.

Referências

  1. Feynman, Richard P. Feynman Lectures on Gravitation (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley, 1995. 136 p. 0-201-62734-5

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]