Fórmula da redução de LSZ

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Em teoria quântica de campos, a fórmula da redução de LSZ é um método para calcular elementos da matriz-S (as amplitudes de espalhamento) das funções de correlação ordenadas no tempo de uma teoria quântica de campos. É um passo da sequência que começa na lagrangeana de alguma teoria quântica de campos, e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Seu nome é uma homenagem a três físicos alemães, Harry Lehmann, Kurt Symanzik e Wolfhart Zimmermann.[1] [2] [3]

Embora a fórmula da redução de LSZ não sirva para partículas compostas, partículas sem massa, e sólitons topológicos, ela pode ser generalizada para cobrir partículas compostas, pelo uso de campos compostos que frequentemente são não-locais. Além disso, o método (ou suas variantes) tornou-se igualmente frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em física estatística eles podem ser usados para obter uma formulação particularmente geral do teorema da flutuação-dissipação.

Campos Antecessor e Posterior[editar | editar código-fonte]

Elementos da matriz S são pontos de transições entre estados Antecessor e Posterior. Um estado Antecessor |\{p\}\ \mathrm{Antecessor}\rangle descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento no passado, antes de interagir, se movendo livremente com momento definido \{p\}, e, convencionalmente, um estado Posterior |\{p\}\ \mathrm{Posterior}\rangle descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento posterior, depois de interação, se movendo livremente com momento definido \{p\}.[1] [2] [3]

Os estados Antecessor e Posterior são estados numa Representação de Heisenberg , não devemos descrever as partículas em um determinado momento, mas sim um sistema de partículas em evolução, de modo que o elemento da matriz S descrevem :

S_{fi}=\langle \{q\}\ \mathrm{Posterior}| \{p\}\ \mathrm{Antecessor}\rangle

é a Amplitude de probabilidade a um ajuste no sistema de partículas que foram preparados com momento definido \{p\} a interagir e ser medidos mais tarde, como um novo conjunto de partículas com momento \{p\}.

A maneira mais fácil de construir estados Antecessor e Posterior é buscar operadores de campo apropriados que forneçam os operadores de criação e aniquilação. Esses campos são chamados respectivamente de campo Antecessor e Posterior.

Apenas para fixar idéias, suponha que lidar com um campo de Klein-Gordon, que interage de alguma forma que não nos diz respeito:

\mathcal L= \frac 1 2 \part_\mu \varphi\part^\mu \varphi - \frac 1 2 m_0^2 \varphi^2 +\mathcal L_{\mathrm{int}}

\mathcal L_{\mathrm{int}} podem conter uma auto interação g \varphi^3 ou interação com outros campos, como uma interação Yukawa g\ \varphi\bar\psi\psi. Deste Lagrange, usando equações de Euler-Lagrange, a equação do movimento segue:

\left(\part^2+m_0^2\right)\varphi(x)=j_0(x)

Onde, se \mathcal L_{\mathrm{int}} não contém acoplamentos derivados:

j_0=\frac{\part\mathcal L_{\mathrm{int}}}{\part \varphi}

Podemos esperar que o campo Antecessor, se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como  x^0 \to -\infty, fazendo a suposição de que na interação posterior descrito pelo atual j_0 é seja desprezível, como partículas estão longe uma da outra. Esta hipótese é chamada de hipótese adiabático. No entanto auto interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, faz resulte na diferença entre a massa de Lagrange m_0 e a massa física m do bóson \varphi. Este fato deve ser levado em consideração por reescrever a equação de movimento da seguinte forma:

\left(\part^2+m^2\right)\varphi(x)=j_0(x)+\left(m^2-m_0^2\right)\varphi(x)=j(x)

Esta equação pode ser resolvida utilizando formalmente a função retardada de Green's para o operador Klein-Gordon \partial^2+m^2:

\Delta_{\mathrm{ret}}(x)=i\theta\left(x^0\right)\int \frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^0=\omega_k}\qquad \omega_k=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}

o que nos permite dividir a interação do comportamento assintótico. A solução é:

\varphi(x)=\sqrt Z \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x) +\int \mathrm{d}^4y \Delta_{\mathrm{ret}}(x-y)j(y)

O fator \sqrt Z é um fator normalizado que virá mais tarde à mão, o campo \varphi_{Posterior} é uma solução da equação homogénea associada com a equação do movimento:

\left(\part^2+m^2\right) \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x)=0,

e, portanto, é um campo livre que descreve uma onda imperturbável de entrada, enquanto que o último termo da solução dá a perturbação da onda devido à interação.

O campo \varphi_{Antecessor} é de fato o campo Antecessor que buscamos, como ele descrevemos o comportamento assintótico do campo, interagindo como  x^0 \to -\infty, embora esta declaração se resumirá mais precisa depois. É um campo escalar livre para ondas planas expandirem-se:

\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)=\int \mathrm{d}^3k \left\{f_k(x) a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{k})+f^*_k(x) a^\dagger_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{k})\right\}

onde:

f_k(x)=\left.\frac{e^{-ik\cdot x}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}(2\omega_k)^{\frac{1}{2}}}\right|_{k^0=\omega_k}

A função inversa para os coeficientes em termos de campo podem ser facilmente obtidas e apresentadas de forma formal:

a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{k})=i\int \mathrm{d}^3x f^*_k(x)\overleftrightarrow\partial_0\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)

Onde:

{\mathrm{g}}{\overleftrightarrow\partial}_0 f = \mathrm{g}\partial_0 f -f\partial_0 \mathrm{g}.

Os coeficientes de Fourier satisfazem a álgebra dos operadores de criação e aniquilação:

[a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{p}),a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{q})]=0;\quad [a_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{p}),a^\dagger_{\mathrm{Antecessor}}(\mathbf{q})]=\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{q});

e podem ser usados para construir o estado Antecessor de maneira usual:

\left|k_1,\ldots,k_n\ \mathrm{Antecessor}\right\rangle=\sqrt{2\omega_{k_1}}a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger(\mathbf{k}_1)\ldots \sqrt{2\omega_{k_n}}a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger(\mathbf{k}_n)|0\rangle

A relação entre o campo interagindo e o campo Antecessor não é muito simples de usar, e na presença anterior da função Green's nos deixa descrever algo como:

\varphi(x)\sim\sqrt Z\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)\qquad \mathrm{como}\quad x^0\to-\infty

implicitamente a suposição se faz de que todas as interações tornam-se insignificantes quando as partículas estão longe uma da outra. No entanto, o atual j(x) contém também interações auto como aquelas que produzem o deslocamento de massa de m_0 a m. Essas interações não desaparecem como as partículas se afastam, muito cuidado, deve-se estabelecer relações assintóticas entre o campo e interação do campo Antecessor.

A prescrição correta, desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizados |\alpha\rangle e |\beta\rangle, e uma solução normalizada f(x) da equação de Klein–Gordon (\part^2+m^2)f(x)=0. Com estas peças é possível afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca:

\lim_{x^0\to-\infty} \int \mathrm{d}^3x \langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\part_0\varphi(x)|\beta\rangle= \sqrt Z \int \mathrm{d}^3x \langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\part_0\varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)|\beta\rangle

O segundo elemento é de facto independente do tempo que pode ser mostrado pela derivação e lembrando-se que tanto \varphi_{\mathrm{Antecessor}} e f satisfazem a equação de Klein–Gordon.

Com as mudanças apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um campo Posterior que constrói um estado Posterior. Em particular, a definição do campo Posterior é:

\varphi(x)=\sqrt Z \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x) +\int \mathrm{d}^4y \Delta_{\mathrm{adv}}(x-y)j(y)

onde \Delta_{\mathrm{adv}}(x-y) é a função avançada de Green do operador de Klein-Gordon. A relação assintótica fraca entre campo Posterior e interação do campo é:

 \lim_{x^0\to \infty} \int \mathrm{d}^3x \langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\part_0\varphi(x)|\beta\rangle= \sqrt Z \int \mathrm{d}^3x
\langle\alpha|f(x)\overleftrightarrow\part_0\varphi_{\mathrm{Posterior}}(x)|\beta\rangle

A formula reduzida para o escalar[editar | editar código-fonte]

As relações assintóticas são tudo que necessitamos para obter a Fórmula da redução de LSZ. Por conveniência futura com o inicio com os elementos da matriz:[1] [2] [3]

\mathcal M=\langle \beta\ \mathrm{Posterior}|\mathrm{T}\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)|\alpha\ p\ \mathrm{Antecessor}\rangle

que é ligeiramente mais geral do que um elemento da matriz S. de fato, \mathcal M é o valor esperado do produto ordenado-tempo de um número de campos \varphi(y_1)\cdots\varphi(y_n) entre um estado Posterior e um estado Antecessor. O estado Posterior pode conter qualquer coisa a partir do vácuo para um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice \beta . O estado Antecessor contém pelo menos uma partícula de impulso p, e, possivelmente, muitos outros, cujos momentos são resumidos pelo índice  \alpha . Se não existem campos no produto ordenado-tempo, então \mathcal M é, obviamente, um elemento da matriz S. A partícula com impulso p pode ser 'extraiu-se' a partir do estado Antecessor pelo utilização de um operador de criação:

 \mathcal M=\sqrt{2\omega_p}\ \left \langle \beta\ \mathrm{Posterior} \bigg| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger(\mathbf p) \bigg|\alpha\ \mathrm{Antecessor} \right \rangle

Com o pressuposto de que nenhuma partícula com momento p está presente no estado Posterior, ou seja, estamos ignorando a frente espalhando, podemos escrever:

\mathcal M=\sqrt{2\omega_p}\ \left \langle \beta\ \mathrm{Posterior} \bigg| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] a_{\mathrm{Antecessor}}^\dagger (\mathbf p)- a_{\mathrm{Posterior}}^\dagger(\mathbf p) \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \bigg|\alpha\ \mathrm{Antecessor} \right \rangle

por causa a_{\mathrm{Posterior}}^\dagger agindo sobre a esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos dos campos Antecessor e Posterior, temos:

\mathcal M=-i\sqrt{2\omega_p}\ \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\part_0} \left\langle \beta\ \mathrm{Posterior} \bigg| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \varphi_{\mathrm{Antecessor}}(x)- \varphi_{\mathrm{Posterior}}(x) \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \bigg|\alpha\ \mathrm{Antecessor}\right \rangle

Agora podemos usar a condição assintótica a escrever:

\mathcal M= -i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \left\{ \lim_{x^0\to-\infty} \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\part_0} \langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] \varphi(x) |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle-\lim_{x^0\to\infty} \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\part_0} \langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \varphi(x) \mathrm T\left[\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle \right\}

Então, notamos que o campo \varphi(x) pode ser trazido para o produto solicitado em tempo, uma vez que aparece no lado direito quando x^0\to\infty e sobre a esquerda quando x^0\to\infty:

\mathcal M=-i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \left(\lim_{x^0\to-\infty}-\lim_{x^0\to \infty}\right) \int \mathrm{d}^3x f_p(x) \overleftrightarrow{\part_0} \langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(x)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor} \rangle

No seguinte, x dependência no produto solicitado em tempo é o que importa, por isso, definir:

\langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(x)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle= \eta(x)

É fácil mostrar, através da realização explicitamente a integração vez que:

 \mathcal M=i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \int \mathrm{d}(x^0)\part_0 \int \mathrm{d}^3x f_p(x)\overleftrightarrow{\part_0}\eta(x)

de modo que, por derivação de tempo explícito, temos:

\mathcal M=i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \int \mathrm{d}^4 x\left\{f_p(x)\part_0^2\eta(x)-\eta(x)\part_0^2 f_p(x)\right\}

Por sua definição, vemos que f_p(x) é uma solução da equação de Klein-Gordon, o qual pode ser escrito como:

\part_0^2f_p(x)=\left(\Delta-m^2\right) f_p(x)

Substituindo na expressão para \mathcal M e integrando por partes, chegamos a:

\mathcal M=i\sqrt{\frac{2\omega_p}{Z}} \int \mathrm{d}^4 x f_p(x)\left(\part_0^2-\Delta+m^2\right)\eta(x)

Isto é:

 \mathcal M=\frac{i}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}} \int \mathrm{d}^4 x e^{-ip\cdot x} \left(\Box+m^2\right)\langle \beta\ \mathrm{Posterior}| \mathrm T\left[\varphi(x)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)\right] |\alpha\ \mathrm{Antecessor}\rangle

A partir deste resultado, e seguindo o mesmo caminho a outra partícula extrair a partir do estado Antecessor, que conduz à inserção de um outro campo no produto ordenado-tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do estado Posterior, e os dois podem ser repetido para conseguir aspirar tanto a direita como a esquerda do produto ordenado do tempo, levando à fórmula geral:

\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{Posterior}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{Antecessor}\rangle=\int \prod_{i=1}^{m} \left\{\mathrm{d}^4x_i \frac{i e^{-iq_i\cdot x_i} \left(\Box_{x_i}+m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}  \right\} \prod_{j=1}^{n} \left\{ \mathrm{d}^4y_j \frac{i e^{ip_j\cdot y_j}\left(\Box_{y_j}+m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}  \right\} \langle 0|\mathrm{T} \varphi(x_1)\ldots\varphi(x_m)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)|0\rangle

Qual é a fórmula de redução LSZ de Klein-Gordon para escalares. Ele ganha um aspecto muito mais bonito se for escrito usando a transformada de Fourier para função de correlação:

 \Gamma \left (p_1,\ldots,p_n \right )=\int \prod_{i=1}^{n} \left\{\mathrm{d}^4x_i e^{i p_i\cdot x_i} \right\} \langle 0|\mathrm{T}\ \varphi(x_1)\ldots\varphi(x_n)|0\rangle

Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:

\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{Posterior}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{Antecessor}\rangle= \prod_{i=1}^{m} \left\{-\frac{i\left(p_i^2-m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}} \right\} \prod_{j=1}^{n} \left\{ -\frac{i\left(q_j^2-m^2\right)}{(2\pi)^{\frac{3}{2}} Z^{\frac{1}{2}}}  \right\} \Gamma \left (p_1,\ldots,p_n;-q_1,\ldots,-q_m \right )

Deixando de lado fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem da transformada de Fourier. É a fórmula de LSZ, onde Z \,\! é a constante de renormalização do campo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Teoria Quântica de Campos
  2. a b c Zwanziger, D. Scattering for Quantum Electrodynamics I Infrared Renormalization and Asymptotic fields, Physical Review D, v11 n12 (197506): 3481-3503 ISSN 0556-2821 doi:10.1103/PhysRevD.11.3481 (em inglês)
  3. a b c Zwanziger, D. Scattering for Quantum Electrodynamics II Reduction and Cross-section Formulas, Physical Review D, v11 n12 (197506): 3504-3530 doi:10.1103/PhysRevD.11.3504 (em inglês)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Marcelo Otávio Caminha Gomes, Teoria Quântica dos Campos Vol. 39 , EdUSP ISBN 8-531-40635-8
  2. Barton, G. Introduction to Dispersion Techniques in Field Theory. New York, W.A. Benjamin, 1965. OCLC 870782 (em inglês)
  3. Gasiorowicz, S. Elementary Particle Physics , New York : Wiley, 1967. OCLC 636225894 (em inglês)
  4. Kulish, P.P. e Faddeev, L. D. Asymptotic Conditions and Infrared Divergences in Quantum Electrodynamics, Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers doi:10.1007/BF01066485 ISSN 0040-5779 Livro ISSN 1573-9333 e-Livro (em inglês)
  5. Roman, P. Introduction to Quantum Field Theory, New York : J. Wiley, ©1969. OCLC 299573264 (em inglês)
  6. Schweber, S.S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Evanston, Ill. : Row, Peterson, 1961. OCLC 1478153 (em inglês)
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