Matemática

Predefinição:Portal-matemática A Matemática (do grego máthēma (μάθημα): ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós (μαθηματικός): apreciador do conhecimento) é a ciência do raciocínio lógico. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a Matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

Buscando uma definição

Euclides: painel em mármore, Museu dell'Opera del Duomo

Há muito tempo busca-se um consenso quanto a definição do que é a Matemática. No entanto nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar esses padrões abstratos que tanto podem ser reais como imaginárias, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.

Uma outra definição seria que é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.

Historicamente as disciplinas básicas dentro da matemática estão associadas a necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Estas três necessidades podem ser grosso modo relacionadas com as grandes subdivisões da matemática: o cálculo básico (somas, subtracções, multiplicações e divisões), o estudo das estruturas, o estudo dos espaços (cálculos de áreas e volumes através do cálculo básico) e o estudo das alterações.

História

Ver artigo principal: História da matemática

Papiro de Rhind do Antigo Egipto, cerca de 1.650 a.C.

Ficheiro:Pythagoras von Samos.png

Pitágoras de Samos

O primeiro objeto conhecido que atesta a habilidade de cálculo é dos Ishango, e data de 20.000 anos atrás. O desenvolvimento da matemática permeou as primeiras civilizações, e tornou possível o desenvolvimento de aplicações concretas: o comércio, o manejo de plantações, a medição de terra, a previsão de eventos astronômicos, e por vezes, a realização de rituais religiosos.

O estudo de estruturas matemáticas começa com a aritmética dos números naturais e segue com a extração de raízes quadradas e cúbicas, a resolução de algumas equações polinomiais de grau 2, a trigonometria e o cálculo das frações, entre outros tópicos.

Tais desenvolvimentos são creditados às civilizações acadiana, babilônica, egípcia, chinesa, ou ainda, àquelas do vale dos hindus. Na civilização grega, a matemática, influenciada pelos trabalhos anteriores, e pelas especulações filosóficas, se tornaram mais abstratas. Dois ramos se distinguiram, a aritmética e a geometria. Além disto, formalizou-se as noções de demonstração e a definição axiomática dos objetos de estudo. Os Elementos de Euclides relatam uma parte dos conhecimentos geométricos na Grécia do século III a.d.

A civilização islâmica permitiu que a herança grega fosse conservada, e propiciou seu confronto com as descobertas chinesas e hindus, notadamente na questão da representação numérica ^{[carece de fontes]}. Os trabalhos matemáticos se desenvolveram consideravelmente tanto na trigonometria (introdução das funções trigonométricas), quanto na aritmética. Desenvolveu-se ainda a análise combinatória, a análise numérica e a álgebra de polinômios.

Durante Renascentismo, uma parte dos textos árabes foram estudados e traduzidos para o latim. A pesquisa matemática, se concentrou então, na Europa. O cálculo algébrico se desenvolveu rapidamente com os trabalhos dos franceses Viète e René Descartes. Em seguida, Newton e Leibiniz descobriram a noção de cálculo infinitesimal e introduziram a noção de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX, a matemática se desenvolveu fortemente com a introdução de novas estruturas abstratas, notadamente os grupos (graças aos trabalhos de Évariste Galois) sobre a resolubilidade de equações polinomiais, e os anéis definidos nos trabalhos de Richard Dedekind.

Áreas e metodologia

As regras que governam as operações aritméticas são as da Álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da Álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na Álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.

O ensino da geometria.

O estudo do espaço se originou com a Geometria, primeiro com a Geometria euclidiana e a Trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A Geometria diferencial e a Geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a Geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na Geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria dos grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.

Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas.

Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos.

Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação.

O conjunto de Mandelbrot.

Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do Prêmio Nobel, John Nash, é a Teoria dos jogos, que possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais.

Os computadores também contribuíram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos desobedecem a leis dinámias para obedecerem a leis lineares que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot e de Mary, descoberto por Lorenz, conhecido pelo Lorenz Attractor.

Um importante campo na matemática aplicada é a Estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numericamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.

Conceitos e tópicos

Espaço

Ver artigo principal: Espaço matemático

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria Algébrica -- Geometria diferencial -- Geometria fractal -- Topologia Diferencial -- Topologia Algébrica -- Álgebra Linear -- Espaços Métricos

			Ficheiro:OsculatingCircle.png
Topologia	Geometria	Trigonometria	Geometria diferencial	Geometria fractal

Estrutura

Muitos objetos matemáticos, tais como conjuntos de números e funções matemáticas, exibem uma estrutura interna. As propriedades estruturais desses objetos são investigadas através do estudo de grupos, anéis, corpos e outros sistemas abstratos, que são eles mesmos tais objetos. Este é o campo da álgebra abstrata. Um conceito importante é a noção de vetor, que se generaliza quando são estudados os espaços vetoriais em álgebra linear. O estudo de vetores combina três das áreas fundamentais da matemática: quantidade, estrutura e espaço.

Álgebra Abstrata -- Teoria dos Números -- Geometria Algébrica -- Teoria dos grupos -- Monóides -- Análise matemática -- Topologia -- Álgebra Linear -- Álgebras de Lie -- Teoria dos grafos -- Álgebra Universal -- Teoria das Categorias -- Teoria da ordem -- Teoria de operadores -- Teoria das Representações

					$(()(()()))$
Teoria de números	Álgebra abstrata	Álgebra linear	Teoria da ordem	Teoria de grafos	Teoria de operadores

Fundações e Métodos

Filosofia da Matemática -- Intuição Matemática -- Construtivismo Matemático -- Fundamentos da Matemática -- Teoria dos Conjuntos -- Lógica Simbólica -- Teoria dos Modelos -- Teoria das Categorias -- Teorema -- Símbolos Matemáticos -- Fundamentos da Geometria

Matemática Aplicada

Análise Numérica -- Otimização -- Probabilidade -- Estatística -- Problemas Lógicos -- Investigação Operacional -- Matemática computacional

Matemática Discreta

Combinatória -- Teoria Básica de Conjuntos -- Probabilidade -- Estatística -- Matemática Discreta -- Criptografia -- Teoria da computação -- Teoria dos Grafos -- Teoria ingênua dos conjuntos -- Teoria dos Jogos -- Modelagem computacional

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Combinatória	Teoria ingênua dos conjuntos	Teoria da computação	Criptografia	Teoria de grafos

Quantidades

Aritmética -- Números -- Números naturais -- Números inteiros -- Números Racionais -- Números Reais -- Números Complexos -- Números Hipercomplexos -- Quaterniões -- Octoniões -- Sedeniões -- Números Hiperreais -- Números Surreais -- Números Ordinais -- Números Cardinais -- Números p-ádicos -- Seqüências de Inteiros -- Constantes Matemáticas -- Nomenclatura dos Números -- Infinito -- Falha Lógica

$1,2,\ldots$	$0,1,-1,\ldots$	${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots$	$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots$	$i,1+i,2e^{i\pi /3},\ldots$
Números naturais	Números Inteiros	Números racionais	Números reais	Números complexos
$+,-,\times ,\div$	$\pi$	$\omega ,\omega +1,\ldots ,2\omega ,\ldots$	$\aleph _{0}$
Aritmética	Constante matemática	Número ordinal	Número cardinal

Teoremas e conjecturas

Ver artigo principal: Lista de teoremas matemáticos

Último Teorema de Fermat -- Hipótese de Riemann -- Hipótese do Continuum -- Conjectura de Goldbach -- Conjectura dos Primos Gêmeos -- Teorema da Divergência -- Teorema da Incompletude de Gödel -- Conjectura de Poincaré -- Argumento da Diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema do Limite Central -- Teorema Fundamental do Cálculo -- Teorema Fundamental da Álgebra -- Teorema das quatro cores -- Lema de Zorn -- Produtos Notáveis

Teorias

Teoria matemática da administração -- Teoria dos números -- -Teoria dos Jogos -- Teoria das categorias -- Teoria dos conjuntos -- Teoria dos grupos -- Teoria matemática da comunicação -- Teoria das singularidades

Transformações

Aritmética -- Cálculo -- Cálculo Vetorial -- Análise -- Equações Diferenciais -- Sistemas dinâmicos -- Teoria do Caos -- Cálculo Fracional -- Lista de funções -- Polinômio de Taylor

Variações

Análise -- Cálculo -- Cálculo vetorial -- Equações diferenciais -- Sistemas dinâmicos -- Teoria do caos

		$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$
Cálculo	Cálculo vetorial	Análise matemática
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
Equações diferenciais	Sistemas dinâmicos	Teoria do caos

Biografia de Matemáticos

Cantor

Cauchy

Descartes

Euler

Fermat

Gauss

Hilbert

Lagrange

Laplace

Newton

Pascal

Pitágoras

Russel

• Lista Completa de Matemáticos

Outros tópicos relacionados

Educação matemática

Ver artigo principal: Educação matemática

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• OBM Olimpíada Brasileira de Matemática
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Ver também

• Problemas em aberto da Matemática

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• Olimpíada de Matemática do Estado de Goiás

Referências

• Devlin, Keith. (2003). Matemática: a Ciência dos Padrões. Editora Porto. ISBN 9720451335.
• Boyer, Carl B. (1996). História da matemática. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN 8521200234.
• Courant, Richard; Robbins, Herbert. (2000). O que é Matemática?. Ciência Moderna. ISBN 8573930217.