Equação diferencial exata

Uma Equação diferencial ordinária é dita exata quando for possível colocá-la na forma:

$M(x,y)+N(x,y)y'=0$

e

${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$

com M e N funções diferenciáveis e integráveis.

O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.

Teorema

Suponha que as funções $M,N,M_{y}$ e $N_{x}$, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa $R:\alpha <x<\beta ,\lambda <y<\sigma$. Então, a equação

$M(x,y)+N(x,y)y'=0$

é uma equação diferencial exata em R se, e somente se,

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$ (1)

em cada ponto de R. Isto é, existe uma função u satisfazendo as equações,

$u_{x}(x,y)=M(x,y)$

$u_{y}(x,y)=N(x,y)$

se, e somente se, M e N satisfazem (1).

Solução de uma EDO exata

Corolário

Quando uma EDO $M(x,y)+N(x,y)y'=0$ é exata, existe uma função F(x,y) tal que

${\frac {\partial F}{\partial x}}=M$

e

${\frac {\partial F}{\partial y}}=N$,

que estabelece, de maneira implícita, a relação entre x e y de tal forma que y seja solução do problema.

Exemplo

Resolver a equação diferencial ordinária $y'={\frac {-(2x+y^{2})}{(2x+1)y}}$.

Temos:

$(2x+y^{2})+(2xy+y)y'=0$,

onde

$M=(2x+y^{2})$ e $N=(2xy+y)$.

Logo, ${\frac {\partial M}{\partial y}}=2y={\frac {\partial N}{\partial x}}$ é exata.

Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=M=2x+y^{2}$.

Integrando em relação a x:

$F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y)$, em que f(y) é uma função de y.

Além disso, ${\frac {\partial F}{\partial y}}=N=2xy+f'(y)=2xy+y$. Então $f'(y)=y$.

Integrando em relação a y, temos: $f(y)={\frac {y^{2}}{2}}+c$, c constante.

Logo, pelo corolário, a solução da EDO é:

$F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+{\frac {y^{2}}{2}}+c$

Exemplo no plano

Considere uma função diferenci2+2=4 porque vou tomar cafe de quatro minha gata ta mojando\Omega \subset {\mathbf R}^{2}</math> da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata

$dz={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy$

A expressão que deu origem à equação, $z=F(x,y)$, representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.

Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante $z=C$ equivale a resolver o sistema de equações:

${\begin{array}{ll}z=C\\z=F(x,y)\\\end{array}}$

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano $XOY$ então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio $\Omega$ de $z=F(x,y)$ que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo

$F(x,y)=C$

Diferenciando esta última equação, obtemos:

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0$

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.

Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

Esta equação é dita exata se existe uma função $w=F(x,y)$ tal que

${\begin{array}{l}P(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}\\Q(x,y)={\frac {\partial F}{\partial y}}\\\end{array}}$

Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir $F$ a partir de suas derivadas parciais.

Referências

• Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:

Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8

Ver também

• Método do fator integrante
• Equações separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Redução de ordem
• Coeficientes a determinar
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)