Equação diferencial exata: diferenças entre revisões
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==Exemplo no plano== |
==Exemplo no plano== |
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Considere uma função diferenciável |
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:<math>dz = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy </math> |
:<math>dz = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy </math> |
Revisão das 22h05min de 11 de junho de 2013
Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Equação diferencial exata (pode-se discutir o procedimento aqui). (desde novembro de 2012) |
Uma Equação diferencial ordinária é dita exata [1] quando for possível colocá-la na forma:
e
com M e N funções diferenciáveis e integráveis.
O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.[2]
Teorema
Suponha que as funções e , onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa . Então, a equação
é uma equação diferencial exata em R se, e somente se,
- (1)
em cada ponto de R. Isto é, existe uma função u satisfazendo as equações,
se, e somente se, M e N satisfazem (1).[2]
Solução de uma EDO exata
Corolário
Quando uma EDO é exata, existe uma função F(x,y) tal que
e
- ,
que estabelece, de maneira implícita, a relação entre x e y de tal forma que y seja solução do problema.
Exemplo
Resolver a equação diferencial ordinária .
Temos:
- ,
onde
- e .
Logo, é exata.
Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:
- .
Integrando em relação a x:
- , em que f(y) é uma função de y.
Além disso, . Então .
Integrando em relação a y, temos: , c constante.
Logo, pelo corolário, a solução da EDO é:
Exemplo no plano
Considere uma função diferenci2+2=4 porque vou tomar cafe de quatro minha gata ta mojando\Omega \subset {\mathbf R}^{2}</math> da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
A expressão que deu origem à equação, , representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.
Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante equivale a resolver o sistema de equações:
Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio de que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo
Diferenciando esta última equação, obtemos:
Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.
Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é
Esta equação é dita exata se existe uma função tal que
Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir a partir de suas derivadas parciais.
Referências
- ↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9
- ↑ a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9
Referências
- Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:
Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8