Função homogênea: diferenças entre revisões
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A identidade de [[Euler]] aplicada às funções |
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Seja <math>f(x_1, x_2, x_3,..., |
Seja <math>f(x_1, x_2, x_3,...,x_m)</math> uma função homogénea de grau <math>n</math>, então verifica-se a seguinte igualdade:<br> |
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:<math>x_1 {\partial f\over\partial x_1}+x_2 {\partial f\over\partial x_2}+x_3 {\partial f\over\partial x_3}+...+ |
:<math>x_1 {\partial f\over\partial x_1}+x_2 {\partial f\over\partial x_2}+x_3 {\partial f\over\partial x_3}+...+x_m {\partial f\over\partial x_m}=n.f</math> |
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===Exemplo=== |
===Exemplo=== |
Revisão das 21h28min de 5 de maio de 2017
Uma função f(x) diz-se homogênea (português brasileiro) ou homogénea (português europeu) de grau se:
Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.
O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).[2]
Exemplos
- é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
- é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
Propriedades
Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como [3]
Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que [3]
Derivadas de funções homogêneas
Se é homogênea de grau , então, para qualquer n, a função de derivada parcial é homogênea de grau (h-1) [4][Nota 1]
Identidade de Euler
A identidade de Euler aplicada às funções homogêneas dita o seguinte.
Seja uma função homogénea de grau , então verifica-se a seguinte igualdade:
Exemplo
é homogénea de grau . Então
Notas e referências
Notas
- ↑ Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau
Referências
- ↑ INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
- ↑ LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
- ↑ a b Thomas Jephson, The fluxional calculus: An elementary treatise (1830), Chapter IV. Fluxional Equations of two Variables of the first order and degree, p.109 [google books]
- ↑ MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.