Teorema de Ostrowski

Na teoria dos números, o teorema de Ostrowski, em homenagem a Alexander Ostrowski (1916), afirma que todo valor absoluto não trivial nos números racionais $\mathbb {Q}$ é equivalente ao valor absoluto real usual ou a um valor absoluto p-ádico.

Definições

Elevar um valor absoluto a uma potência menor que 1 sempre resulta em outro valor absoluto. Dois valores absolutos$|\cdot |$ e $|\cdot |_{*}$ em um campo $K$ são definidos para serem equivalentes se houver um número real c > 0 de forma que

$\forall x\in K:\quad |x|_{*}=|x|^{c}.$

O valor absoluto trivial em qualquer campo K é definido ser

$|x|_{0}:={\begin{cases}0&x=0,\\1&x\neq 0.\end{cases}}$

O verdadeiro valor absoluto dos racionais $\mathbb {Q}$ é o valor absoluto padrão em reais, definido ser

$|x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0,\\-x&x<0.\end{cases}}$

Isso às vezes é escrito com um subscrito 1 em vez de infinito.

Para um número primo p, o p-ádico valor absoluto em $\mathbb {Q}$ é definido da seguinte forma: qualquer $x$ racional diferente de zero pode ser escrito exclusivamente como $x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}$, onde a e b são inteiros co-primos não divisíveis por p, e n é um inteiro; então nós definimos

$|x|_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{cases}}$

Prova

Considere um valor absoluto não trivial nos racionais $(\mathbb {Q} ,|\cdot |_{*})$. Consideramos dois casos:

${\begin{aligned}(1)\quad \exists n\in \mathbb {N} \qquad |n|_{*}&>1,\\(2)\quad \forall n\in \mathbb {N} \qquad |n|_{*}&\leq 1.\end{aligned}}$

É suficiente considerar a avaliação de inteiros maiores que um. Pois, se encontrarmos $c\in \mathbb {R} _{+}$ para o qual $|n|_{*}=|n|_{**}^{c}$ para todos os naturais maiores do que um, então esta relação trivialmente vale para 0 e 1, e para os racionais positivos

$\left|{\frac {m}{n}}\right|_{*}={\frac {|m|_{*}}{|n|_{*}}}={\frac {|m|_{**}^{c}}{|n|_{**}^{c}}}=\left({\frac {|m|_{**}}{|n|_{**}}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{**}^{c},$

e para motivos negativos

$|-x|_{*}=|x|_{*}=|x|_{**}^{c}=|-x|_{**}^{c}.$

Caso (1)

Deixe $a,b,n\in \mathbb {N}$ com a, b > 1.Expresse bⁿ na base a:

$b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.$

Então vemos, pelas propriedades de um valor absoluto:

${\begin{aligned}|b|_{*}^{n}&=|b^{n}|_{*}\\&\leq am\max \left\{|a|_{*}^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{*}^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}$

Sendo assim,

$|b|_{*}\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{\frac {1}{n}}\max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.$

No entanto, como $n\to \infty$, temos

$(a(n\log _{a}b+1))^{\frac {1}{n}}\to 1,$

que implica

$|b|_{*}\leq \max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.$

Agora escolha $1<b\in \mathbb {N}$ de tal modo que $|b|_{*}>1.$ Usar isso a declaração acima garante que $|a|_{*}>1$ independentemente da escolha de a (por outro lado $|a|_{*}^{\log _{a}b}\leq 1$, implicando $|b|_{*}\leq 1$). Assim, para qualquer escolha de a, b > 1 acima, temos

$|b|_{*}\leq |a|_{*}^{\frac {\log b}{\log a}},$

i.e.

${\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}.$

Por simetria, essa desigualdade é uma igualdade.

Uma vez que a, b foram arbitrários, há uma constante $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ para qual $\log |n|_{*}=\lambda \log n$, i.e. $|n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }$ para todos os naturais n > 1. De acordo com as observações acima, vemos facilmente que $|x|_{*}=|x|_{\infty }^{\lambda }$ para todos os racionais, demonstrando assim a equivalência ao valor absoluto real.

Caso (2)

Como esta avaliação não é trivial, deve haver um número natural para o qual $|n|_{*}<1.$ Fatorando em números primos:

$n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}$

rende que existe $j$ de tal modo que $|p_{j}|<1.$Afirmamos que, na verdade, isso é verdade apenas para um.

Suponha per contra que p, q são primos distintos com valor absoluto menor que 1. Primeiro, deixe $e\in \mathbb {N}$ be such that $|p|_{*}^{e},|q|_{*}^{e}<{\tfrac {1}{2}}$. Pelo algoritmo euclidiano, existem $k,l\in \mathbb {Z}$ de tal modo que $kp^{e}+lq^{e}=1.$ Isso produz

$1=|1|_{*}\leq |k|_{*}|p|_{*}^{e}+|l|_{*}|q|_{*}^{e}<{\frac {|k|_{*}+|l|_{*}}{2}}\leq 1,$

uma contradição.

Então devemos ter $|p_{j}|_{*}=\alpha <1$ para alguns j, e $|p_{i}|_{*}=1$ for i ≠ j. Deixando

$c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},$

vemos que para naturais positivos gerais

$|n|_{*}=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{*}=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{*}^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{*}^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.$

De acordo com as observações acima, vemos que $|x|_{*}=|x|_{p}^{c}$ para todos os racionais, o que implica que o valor absoluto é equivalente ao p-ádico. $\blacksquare$

Também se pode mostrar uma conclusão mais forte, ou seja, que $|\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ é um valor absoluto não trivial se e somente se qualquer um $|\cdot |_{*}=|\cdot |_{\infty }^{c}$ para algum $c\in (0,1]$ ou $|\cdot |_{*}=|\cdot |_{p}^{c}$ para algum $c\in (0,\infty ),\ p\in \mathbf {P}$.

Valor absoluto arquimediano

Outro teorema afirma que qualquer campo, completo em relação a um valor absoluto arquimediano, é (algebricamente e topologicamente) isomórfico aos números reais ou aos números complexos. Isso às vezes também é conhecido como teorema de Ostrowski.

Bibliografia

• Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. Col: London Mathematical Society Student Texts. 3. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 
• Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields 2nd ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4 
• Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II 2nd ed. [S.l.]: W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9 
• Ostrowski, Alexander (1916). «Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy)» 2nd ed. Acta Mathematica. 41 (1): 271–284. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/BF02422947