Função quadrática

Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma.

Um polinômio quadrático com duas raízes reais (cruzamentos do eixo x ) e, portanto, sem raízes complexas . Alguns outros polinômios quadráticos têm seu mínimo acima do eixo x, caso em que não há raízes reais e duas raízes complexas.

Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma^[1]

f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0

na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo $y$ , como mostrado à direita.

Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.

O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário

f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!

com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).

Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x ², y ², z ², xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.

Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x ², xy, yz, etc.

Etimologia

O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como $x 2$ é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado $x$ .

Terminologia

Nomenclatura Correta

Nunca deve-se chamar uma função quadrática de "função do segundo grau". Pois tal nome da origem a seguinte pergunta: "O que é o grau de uma função?", Nada! pois uma função não possui grau, o que possui grau é um polinômio.

Coeficientes

Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .

Grau

Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.

Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.

Variáveis

Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).

O caso de uma variável

Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como

ax^{2}+bx+c,\,\!

onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática $ax^{2}+bx+c=0$ . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .

Caso bivariado

Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como

f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!

onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .

Formas de uma função quadrática univariada

Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos: ^[2]

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ é chamado de formulário padrão ,
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ é chamada de forma fatorada, onde $r 1$ e $r 2$ são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente.
$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ chama-se a forma de vértice, em que $h$ e $k$ são as coordenadas $x$ e $y$ do vértice, respectivamente.

O coeficiente $a$ é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes $r 1$ e $r 2$ . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores.

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada $f(x)=ax^{2}+bx+c$ é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada $y=ax^{2}+bx+c$ .

Se $a > 0$ , a parábola abre para cima.
Se $a < 0$ a parábola se abre para baixo.

O coeficiente $a$ controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de $a$ dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).

Os coeficientes $b$ e $a$ juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada $x$ do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em

x=-{\frac {b}{2a}}.

Além disso, o coeficiente $b$ está associado ao termo de grau 1 na função. Se observarmos, há uma função de 1º grau contida na função quadrática, equivalente a $y^{1}=bx+c$ . O coeficiente $b$ corresponde ao coeficiente angular dessa função $f(x^{1})=y^{1}$ , a qual é sempre tangente de $y=ax^{2}+bx+c$ na altura $c$ de $f(x^{2})$ , isto é, no ponto (0,c).

O coeficiente $c$ controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo $y$ .

Vértice

O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é $(h, k)$ . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão

f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!

para dentro

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}

então o vértice, $(h, k)$ , da parábola na forma padrão é

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

Se a função quadrática estiver na forma fatorada então

f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!

a média das duas raízes, ou seja:

{\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!

é a coordenada $x$ do vértice e, portanto, o vértice $(h, k)$ é

\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!

O vértice também é o ponto máximo se $a < 0$ , ou o ponto mínimo se $a > 0$ .

A linha vertical:

x=h=-{\frac {b}{2a}}

que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.

Pontos de máximos e mínimos

Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :

f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.

$x$ é uma raíz de $f'(x)$ if $f'(x) = 0$ resultando em:

x=-{\frac {b}{2a}}

com o valor da função correspondente temos:

f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,

então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, $(h, k)$ , podem ser expressas como

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

Raízes da função univariada

Predefinição:Quadratic equation graph key points.svg Predefinição:Quadratic function graph complex roots.svg

Raízes exatas

As raízes (ou zeros ), $r 1$ e $r 2$ , da função quadrática univariada

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}

são os valores de $x$ para os quais $f (x) = 0$ .

Quando os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ são reais ou complexos, as raízes são

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Limite superior na magnitude das raízes

O módulo das raízes de um quadrático $ax^{2}+bx+c\,$ não pode ser maior que ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,$ Onde $\phi$ é a proporção áurea ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ ^[3] [ importância? ]

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .

E se $a>0\,\!$ então a equação $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.

E se $a<0\,\!$ então a equação $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.

Iteração

Para iterar uma função $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.

Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de $f^{(n)}(x)$ , O que significa que a ^enésima iteração $f(x)$ . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de $f(x)$ se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .

Por exemplo, para a equação iterativa

f(x)=a(x-c)^{2}+c

uma tem:

f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!

Onde

g(x)=ax^{2}\,\!

e

h(x)=x-c.\,\!

Então, por indução,

f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!

pode ser obtido, onde $g^{(n)}(x)$ pode ser facilmente calculado como:

g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!

Finalmente, temos:

f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!

como a solução.

Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.

O mapa logístico

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1

com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é

x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )

onde o parâmetro de condição inicial $\theta$ É dado por $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ . Para racional $\theta$ , após um número finito de iterações $x_{n}$ mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos $\theta$ são irracionais e, para irracionais $\theta$ , $x_{n}$ nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.

A solução do mapa logístico quando r = 2 é

$x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$

para $x_{0}\in [0,1)$ . Desde a $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ para qualquer valor de $x_{0}$ diferente do ponto fixo instável 0, o termo $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então $x_{n}$ vai para o ponto fixo estável ${\tfrac {1}{2}}.$

Função quadrática bivariada (duas variáveis)

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!

onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração $f(x,y)\,\!$ igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano $z=0\,\!$ , que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .

Mínimo/máximo

E se $4AB-E^{2}<0\,$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

E se $4AB-E^{2}>0\,$ a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em $(x_{m},y_{m})\,$ Onde:

x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},

y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.

E se $4AB-E^{2}=0\,$ e $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

E se $4AB-E^{2}=0\,$ e $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Veja também

Forma quadrática
Equação quadrática
Representação matricial de seções cônicas
Quadric
Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos
Lista de funções matemáticas

Referências

↑ «Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld». Consultado em 6 de janeiro de 2013
↑ Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, ISBN 9780471271758, John Wiley & Sons Inc., p. 205 , Search result
↑ Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

Álgebra 1, Glencoe,ISBN 0-07-825083-8
Álgebra 2, Saxon,ISBN 0-939798-62-X

Ligações externas

Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.

[wolfram-1] «Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld». Consultado em 6 de janeiro de 2013

[2] Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, ISBN 9780471271758, John Wiley & Sons Inc., p. 205 , Search result

[3] Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

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