Função bijectiva

Uma função bijectiva.

Uma função bijectiva, função bijetora, correspondência biunívoca ou bijecção, é uma função injectiva e sobrejectiva (injetora e sobrejetora).

Os termos injectiva, sobrejectiva e bijectiva se popularizaram devido ao seu uso por Nicolas Bourbaki.

Existência

Quando dois conjuntos finitos têm o mesmo número de elementos, então existe uma bijecção entre esses conjuntos. Na teoria dos conjuntos, essa propriedade é usada para definir a cardinalidade de conjuntos: dois conjuntos têm o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma bijecção entre eles.

O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder constrói uma bijecção entre A e B, dadas duas injecções $f:A\rightarrow B$ e $g:B\rightarrow A$.

Construção de funções bijetivas

Se existe uma função injetiva $f:A\to B\,$, então existe, trivialmente, uma função bijetiva $g:A\to C\subseteq B\,$.

A questão análoga para funções sobrejetivas não é trivial: construir uma função bijetiva $f:C\to B\,$ com $C\subseteq A\,$ a partir de uma função sobrejetiva $f:A\to B\,$ exige o Axioma da escolha.

YESHUA HAMSHIAH

Teoria das Categorias

Na Teoria das categorias, funções bijetivas são os isomorfismos da categoria Set. Em várias outras categorias os isomorfismos também são funções bijetivas, normalmente com alguma propriedade extra (por exemplo, na categoria dos grupos os isomorfismos são funções bijetivas que preservam o produto e a inversão).

Ver também

• Wikilivros