Lei da gravitação universal

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A lei da gravitação universal afirma que, se dois corpos possuem massa, ambos sofreram uma força de atração mútua proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.[1] Essa lei foi formulada pelo físico inglês Sir Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687, que descreve a lei da gravitação universal e as Leis de Newton — as três leis dos corpos em movimento que assentaram-se como fundamento da mecânica clássica.[2]

A gravidade é uma força fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. A gravidade mantém o objetos celestes unidos e ligados, como os gases quentes contidos pelo Sol e os planetas, confinados às suas órbitas. A gravidade da Lua causa as marés oceânicas na Terra. Por causa da gravitação, os objetos sobre a Terra são atraídos em seu sentido.

História[editar | editar código-fonte]

Sir Isaac Newton, o primeiro a formular a lei da gravitação universal

Ainda que os efeitos da gravidade sejam fáceis de notar, a busca de uma explicação para a força gravitacional tem embaraçado o homem durante séculos. O filósofo grego Aristóteles empreendeu uma das primeiras tentativas de explicar como e por que os objetos caem em direção à Terra. Entre suas conclusões, estava a ideia de que os objetos pesados caem mais rápido que os leves. Embora alguns tenham se oposto a essa concepção, ela foi comumente aceita até o fim do século XVII, quando as descobertas do cientista italiano Galileu Galilei ganharam aceitação. De acordo com Galileu, todos os objetos caíam com a mesma aceleração, a menos que a resistência do ar ou alguma outra força os freasse.

Os antigos astrônomos gregos estudaram os movimentos dos planetas e da Lua. Entretanto, o paradigma aceito hoje foi determinado por Isaac Newton, físico e matemático inglês, baseado em estudos e descobertas feitas pelos físicos que até então trilhavam o caminho da gravitação. Como Newton mesmo disse, ele chegou a suas conclusões porque estava "apoiado em ombros de gigantes". No início do século XVII, Newton baseou sua explicação em cuidadosas observações dos movimentos planetários, feitas por Tycho Brahe e por Johannes Kepler. Newton estudou o mecanismo que fazia com que a Lua girasse em torno da Terra. Estudando os princípios elaborados por Galileu Galilei e por Johannes Kepler, conseguiu elaborar uma teoria que dizia que todos os corpos que possuíam massa sofreriam atração entre si.

A partir das leis de Kepler, Newton mostrou que tipos de forças devem ser necessárias para manter os planetas em suas órbitas. Ele calculou como a força deveria ser na superfície da Terra. Essa força provou ser a mesma que da à massa sua aceleração.

Diz uma lenda que, quando tinha 23 anos, Newton viu uma maçã cair de uma árvore e compreendeu que a mesma força que a fazia cair mantinha a Lua em sua órbita em torno da Terra.

Corpos de simetria esférica e a gravitação[editar | editar código-fonte]

As partículas dos corpos que possuem uma distribuição de massa simetricamente esférica, como estrelas, luas e planetas, tendem a se aproximar do centro de massa. Assim, um acumulado de poeira cósmica ao aglutinar-se, as partículas começam a se aproximar de forma uniforme, pois quanto mais acumuladas, mais força têm para comprimi-las. Por isso os corpos geralmente assumem uma forma esférica, visto que, quando sua massa é pequena esse efeito é bastante baixo e os corpos podem ter alterações em seus formatos.[3]

Formulação da Lei da Gravitação Universal[editar | editar código-fonte]

Dois corpos puntiformes m1 e m2 atraem-se exercendo entre si forças de mesma intensidade F1 e F2, proporcionais ao produto das duas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância (r) entre elas. G é a constante gravitacional.

A lei da gravitação universal diz que duas partículas quaisquer do Universo se atraem gravitacionalmente por meio de uma força que é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

Se os corpos não são de partículas ou não podem ser considerados como pontos materiais, a distância estabelecida entre elas deve ser medida em relação ao centro de massa delas, ou seja pontos onde pode-se supor que está concentrada toda a massa do corpo ou o sistema de corpos.

onde

F1 (F2) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), medida em newtons;
é constante gravitacional universal, que determina a intensidade da força,
m 1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas em quilogramas; e
r é a distância entre os dois corpos, medida em metros;
o versor do vetor que liga o corpo 1 ao corpo 2.

A constante gravitacional universal foi medida anos mais tarde por Henry Cavendish. A descoberta da lei da gravitação universal se deu em 1685 como resultado de uma série de estudos e trabalhos iniciados muito antes.

O estabelecimento de uma lei de gravitação, que unifica todos os fenômenos terrestres e celestes de atração entre os corpos, teve enorme importância para a evolução da ciência moderna.

Problema de Kepler[editar | editar código-fonte]

O problema de Kepler é um caso especial do problema dos dois corpos, em que os dois corpos interagem por uma força central que varia proporcionalmente ao inverso do quadrado da distância.[carece de fontes?] Esse problema resume-se a usar a segunda lei de Newton para escrever as equações de movimento do sistema, descobrindo sua trajetória no espaço. Isto é:

Sistema polar de coordenadas[editar | editar código-fonte]

Um sistema de coordenadas adequado para resolver o problema é o sistema de coordenadas polares, de coordenadas e , que se relacionam com as coordenadas cartesianas e da seguinte maneira:[4]

Para resolver o problema, é necessário saber como a aceleração é escrita em coordenadas polares, isto é, como combinação linear dos versores e . Como , basta derivar duas vezes o vetor posição em relação ao tempo para encontrar a aceleração. Em coordenadas polares:

Derivando a expressão, pela regra do produto:

Para encontrar é necessário recorrer às seguintes relações:

Daí se conclui que e, portanto:[5]

Derivando mais uma vez e usando a relação :[5]

Resolução da segunda lei de Newton[editar | editar código-fonte]

Pela segunda lei de Newton:

Cancelando a massa de ambos os lados da equação e escrevendo em coordenadas polares, obtém-se a seguinte equação vetorial:

Originando duas equações escalares de movimento:[6]

Multiplicando por , percebe-se que há conservação do momento angular :[6]

Eliminando em através de pela relação , obtém-se:

Tal equação diferencial de em função de pode ser modificada de modo que seja uma função de modificando a segunda derivada temporal através da regra da cadeia:

Resulta, então a seguinte equação para a função :

Para resolver , define-se a função e, consequentemente, suas derivadas em relação a :[6]

Substituindo essas novas relações em :

Resultando, finalmente, na equação do oscilador harmônico:

Cuja solução geral pode ser escrita como:[6]

Em que e são constantes arbitrárias. É conveniente escrever , em que é a nova constante, denominada excentricidade. Assim, resulta ser:[6]

Referências

  1. «Gravitação Universal». Só Física 
  2. Silva, Lucas Henrique dos Santos. «Lei da Gravitação Universal». InfoEscola 
  3. Young, Hugh, Freedman, Roger A (2008). Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Pearson. p. 2. ISBN 978-85-88639-33-1 
  4. Nascimento, Mauri C. «Coordenadas Polares» (PDF) 
  5. a b Martins, Jorge Sá. «Os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares bidimensionais». Youtube 
  6. a b c d e «Deriving Kepler's Laws». Brilliant 

Ver também[editar | editar código-fonte]