Hipótese de Riemann

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Gráficos das partes real (a vermelha) e imaginária (a azul) da linha crítica da função zeta de Riemann. Podem ver-se os primeiros zeros não triviais em Im(s) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.
Um gráfico polar de zeta, ou seja, Re(zeta) vs. Im(zeta), ao longo da linha crítica s=it+1/2, com t com valores de 0 a 34.

A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 pelo matemático Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann ζ(s) pertencem todos à "linha crítica"[1] :

onde denota a parte real de s.

Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares: .

A hipótese de Riemann, devido à relação que tem com a distribuição de números primos no conjunto dos naturais, é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem o provar.[2]

A maior parte da comunidade matemática crê que a conjetura é correta, embora outros grandes matemáticos como J. E. Littlewood e Atle Selberg se tenham mostrado cépticos, embora o cepticismo de Selberg fosse diminuindo.

Essência básica do conceito[editar | editar código-fonte]

No coração da hipótese de Riemann existe uma entidade matemática enigmática conhecida como função zeta de Riemann. Está intimamente ligado a números primos e como eles são distribuídos ao longo da linha numérica. A hipótese de Riemann sugere que o valor da função é igual a zero apenas nos pontos que caem em uma única linha quando a função é representada graficamente, com a exceção de certos pontos óbvios. Mas, como a função tem infinitamente muitos desses “zeros”, isso não é fácil de confirmar. Mas a conjectura é tão difícil de verificar e não tem sinal algum de que uma solução está próxima.

Relação com números primos[editar | editar código-fonte]

Por razões mais profundas, o problema está relacionado com várias questões sutis envolvendo os números primos. Por exemplo: se denota o -ésimo número primo (de modo que , , , , e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabelece que a diferença entre dois números primos consecutivos, , cresce "na mesma velocidade" que . Mais especificamente, existe uma constante real positiva de maneira que vale a desigualdade

para todo suficientemente grande. Para provar este resultado, a demonstração de Cramer utilizou crucialmente a Hipótese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princípio ser falso, caso a Hipótese também seja.

Abordagens recentes[editar | editar código-fonte]

O professor nigeriano Dr. Opeyemi Enoch, que leciona na Universidade Federal de Oye-Ekiti, afirmou ter resolvido o problema em novembro de 2015. Entretanto, isso parece não ser verdade: no blog Aperiodical, os matemáticos Katie Steckles e Christian Lawson-Perfect expressam seu ceticismo, dizendo que a Hipótese de Riemann seguramente não foi resolvida. Eles escrevem: "Infelizmente, parece que neste caso não temos uma prova real da hipótese de Riemann… há um artigo no academia.edu sob o nome de Enoch, que na verdade é uma cópia de um artigo de outra pessoa chamada Werner Raab… Estranhamente, Enoch parece estar reunindo vários estudos sobre a Hipótese de Riemann no site academia.edu sob seu próprio nome."

Matemáticos fizeram o avanço abordando uma questão relacionada sobre um grupo de expressões conhecidas como polinômios de Jensen[3] em 2019.[4]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Resolução da equação http://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/africaandindianocean/nigeria/12000314/The-Riemann-Hypothesis-solution-found-by-Dr-Opeyemi-Enoch.html

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  1. {citar livro|autor=Bombieri, Enrico|ano=2000|url=http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf%7Cformat=PDF%7Ctítulo=The Riemann Hypothesis - official problem description|editora=Clay Mathematics Institute|acessodata=21 de fevereiro de 2011|língua=inglês}} Reimpresso em (Borwein et al. 2008).
  2. «The Millennium Prize Problems». Consultado em 21 de fevereiro de 2011 
  3. Jensen polynomials for the Riemann zeta function and other sequences por Michael Griffin, Ken Ono, Larry Rolen, and Don Zagier - PNAS publicado em 21 de maio de 2019 https://doi.org/10.1073/pnas.1902572116
  4. Mathematicians report possible progress on proving the Riemann hypothesis A new study of Jensen polynomials revives an old approach por EMILY CONOVER (2019)