Tensor de Bach

Em geometria diferencial e na relatividade geral, o tensor de Bach é um tensor livre de traços de 2º grau que é invariavelmente conforme na dimensão n = 4. Antes de 1968, era o único tensor conformalmente invariável conhecido que é algebricamente independente do tensor de Weyl.

Em índices abstratos, o tensor de Bach é dado por

$B_{ab}=P_{cd}{{{W_{a}}^{c}}_{b}}^{d}+\nabla ^{c}\nabla _{c}P_{ab}-\nabla ^{c}\nabla _{a}P_{bc}$

onde $W$ é o tensor de Weyl e $P$ o tensor de Schoutendado em termos do tensor de Ricci $R_{ab}$ e curvatura escalar $R$ por

$P_{ab}={\frac {1}{n-2}}\left(R_{ab}-{\frac {R}{2(n-1)}}g_{ab}\right).$