Autovalores e autovetores

Fig.1.Observe que neste mapeamento de cisalhamento da Mona Lisa, a imagem foi deformada de tal modo que o seu eixo central vertical (vector vermelho) não mudou de direção, mas o vector diagonal (azul) mudou de direção. Isso ocorre porque o vetor vermelho é um autovetor da transformação e o vetor azul não é. Caso o vetor vermelho não tenha seu módulo alterado - não seja esticado nem encolhido, o seu valor próprio (autovalor) é igual a 1. Todos os vectores com a mesma direção vertical, isto é, paralelos a este vetor, também são próprios, com o mesmo autovalor. Juntamente com o zero-vetor, eles formam o autoespaço para este autovalor.

Em álgebra linear, um escalar λ é valor próprio (ou autovalor ou valor característico) de um operador linear $A:V\rightarrow V$ se existir um vector x diferente de zero tal que $A{\mathbf {x}}=\lambda {\mathbf {x}}$. O vector x é chamado vector próprio (ou autovetor ou vetor característico).

Os autovalores de uma dada matriz quadrada A de dimensão $n\times n$ são os n números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz. O autovalor de A é um número λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular(ou não-invertível). Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz $(A-\lambda I)$ for singular.

Multiplicidade

Caso o espaço vectorial no qual A esteja definido tenha dimensão finita, a multiplicidade algébrica (ou apenas multiplicidade) de um valor próprio λ de A é o número de factores $t-\lambda$ do polinómio característico de A.

Autovalor de matriz diagonal

As entradas na diagonal de uma matriz diagonal D são autovalores de D. Por exemplo, o elemento d₁₁ é um autovalor da matriz abaixo:

$D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &d_{nn}\end{bmatrix}}$

Autovalor de matriz singular

Ver artigo principal: Polinômio característico

Uma matriz quadrada A é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular: $det\left(A-\lambda I\right)=0$. para uma matriz de dimensão nXn, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A.

Traço e determinante

Ver artigo principal: determinante

Suponhamos que os valores próprios (autovalores) de uma matriz A são λ₁, λ₂, ..., λ_n. Então, o traço de A é λ₁ + λ₂ + ... + λ_n e o determinante de A é λ₁λ₂...λ_n. Estes são dois conceitos importantes em teoria matricial.

Interpretação geométrica

Fig. 2. A transformação A aumenta a magnitude do vetor x, mas não muda sua direção. Logo, x é um autovetor de A, e λ um autovalor de A.

Geometricamente (Fig. 2), a equação do valor próprio (autovalor) $A{\mathbf {x}}=\lambda {\mathbf {x}}$ implica que numa transformação A, autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal — a direção de Ax é a mesma direção de x. O autovalor λ indica apenas o quanto o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação A. Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (não é afetado pela transformação). Se λ = −1 o vetor passa a ter a direção oposta (muda de sentido apenas) e a transformação é chamada reflexão. A transformação I sob a qual um vetor x permanece inalterado, Ix = x é definida como transformação identidade.

Exemplo

Às vezes é possível descobrir um ou mais autovalores de uma matriz por inspeção. Seja, por exemplo, a matriz $A={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\\\end{bmatrix}}$. Subtraindo 2 de cada entrada da diagonal principal, transformamos A em uma matriz singular: ${\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\\end{bmatrix}}$. Portanto, 2 é um autovalor da matriz A. Também subtraindo 4 de cada entrada da diagonal principal, transformamos A em uma matriz singular: ${\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\\\end{bmatrix}}$. Portanto, 4 é o segundo autovalor da matriz A.

Referências

• Leon, Steven J. (1998). Álgebra Linear Com Aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. 390 páginas. ISBN 8521611501 
• Hefez, Abramo; Fernandez, Cecília S. (2016). Introdução à Álgebra Linear 2 ed. Rio de Janeiro: SBM. 271 páginas. ISBN 9788583370871 
• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1976). Álgebra Linear 1 ed. Rio de Janeiro: LTC. 356 páginas 
• Callioli, Carlos A.; Domingues, Hygino H.; Costa, Roberto C. F. (1983). Álgebra Linear e Aplicações 4 ed. São Paulo: Atual. 332 páginas 

Ver também

• Vector próprio
• Decomposição em Valores Singulares - valor singular e vetor singular (ideias semelhantes para matrizes retangulares)
• Forma canônica de Jordan
• wikibooks:Linear Algebra/Eigenvalues and eigenvectors