Notação de Voigt

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Em matemática, a notação de Voigt ou forma de Voigt em álgebra multilinear é um modo de representar um tensor simétrico reduzindo sua ordem. Existem algumas poucas variantes e nomes associados com esta ideia, por exemplo notação de Mandel, notação de Mandel–Voigt e notação de Nye. A notação de Kelvin é uma atualização devida a Helbig (1994) de antigas ideias de Lord Kelvin. As diferenças aqui repousam em certos pesos associados à seleção de linhas e colunas do tensor. A nomenclatura varia de acordo com a tradição no campo de aplicação.

Por exemplo, um tensor simétrico 2×2 em notação matricial

\boldsymbol{X}=
\left[{\begin{matrix}
  x_{1 1} & x_{1 2}\\
  x_{2 1} & x_{2 2}
\end{matrix}}\right]

tem somente três elementos distintos, os dois da diagonal principal e o último fora desta diagonal, pois se o tensor é simétrico então os elementos com índices 12 e 21 são obrigatoriamente iguais. Assim, X pode ser expresso como o vetor

(x_{1 1}, x_{2 2}, x_{1 2})^{\mathrm{T}}.

Como outro exemplo, o tensor tensão (em notação matricial) é expresso como

\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
  \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
  \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
  \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{matrix}}\right]

Na notação de Voigt é simplificado como o vetor de seis componentes

\tilde\sigma= (\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz},
  \sigma_{yz},\sigma_{xz},\sigma_{xy})^{\mathrm{T}}\equiv (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6)^{\mathrm{T}}.

O tensor deformação, similar em natureza ao tensor tensão — ambos são tensores simétricos de segunda ordem —, é expresso em forma matricial como

\boldsymbol{\epsilon}=
\left[{\begin{matrix}
  \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\
  \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\
  \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz}
\end{matrix}}\right]

Sua representação na notação de Voigt é

\tilde\epsilon= (\epsilon_{xx}, \epsilon_{yy}, \epsilon_{zz},
 2\epsilon_{yz},2\epsilon_{xz},2\epsilon_{xy})^{\mathrm{T}}\equiv (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3, \epsilon_4, \epsilon_5, \epsilon_6)^{\mathrm{T}},

sendo \gamma_{xy}=2\epsilon_{xy}, \gamma_{yz}=2\epsilon_{yz}, and \gamma_{zx}=2\epsilon_{zx} as deformações cisalhantes de engenharia.

A grande vantagem em usar diferentes representações para tensões e deformações é que a invariância escalar

 \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\epsilon} = \sigma_{ij}\epsilon_{ij} = \tilde\sigma \cdot \tilde\epsilon

é preservada.

Da mesma forma, um tensor simétrico de quarta ordem pode ser reduzido a uma matriz 6×6.

Regra mnemônica[editar | editar código-fonte]

Regra mnemónica fácil de memorizar a notação de Voigt para um tensor de segunda ordem 3×3:

  • Escrever o tensor em forma matricial (no exemplo a seguir o tensor tensão)
  • Eliminar a parte diagonal inferior
  • Ponto de partida: Riscar a diagonal principal a partir do elemento de índices 11 (primeira linha e primeira coluna) ate o elemento de índice 33 (terceira linha e terceira coluna)
  • Seguir riscando para cima até a primeira linha (da terceira até a primeira linha, permanecendo na terceira coluna)
  • Retornar riscando até encontrar o último elemento não riscado da primeira linha (da terceira até a segunda coluna, permanecendo na primeira linha). Este é o ponto de chegada.

Os índices de Voigt são numerados em sequência a partir de 1, iniciando no ponto de partida e seguindo até o ponto de chegada (no exemplo os números em azul), mapeando todos os elementos do tensor.

Voigt notation Mnemonic rule.png

Notação de Mandel[editar | editar código-fonte]

Para um tensor simétrico de segunda ordem

 \boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
  \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
  \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
  \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
\end{matrix}}\right]

somente seis componentes são distintas, as três na diagonal principal e as outras três restantes fora da diagonal. Pode assim ser expresso na notação de Mandel como o vetor

 
\tilde \sigma ^M=
(\sigma_{11}, 
\sigma_{22},
\sigma_{33},
\sqrt 2 \sigma_{12},
\sqrt 2 \sigma_{23},
\sqrt 2 \sigma_{13}
)^{\mathrm{T}}

A principal vantagem da notação de Mandel é permitir o uso da mesma operação convencional usada com vetores, por exemplo

 \tilde \sigma : \tilde \sigma = \tilde \sigma^M \cdot \tilde \sigma^M = 
\sigma_{11}^2 +
\sigma_{22}^2 +
\sigma_{33}^2 +
2 \sigma_{12}^2 +
2 \sigma_{23}^2 +
2 \sigma_{13}^2

Um tensor simétrico de quarta ordem satisfazendo  D_{ijkl} = D_{jikl} e  D_{ijkl} = D_{ijlk} tem 81 componentes no espaço quadridimensional, mas somente 36 componentes são distintas. Assim, na notação de Mandel, pode ser expresso como

 \tilde D^M=
\begin{pmatrix}
  D_{1111} & D_{1122} & D_{1133}  & \sqrt 2 D_{1112} & \sqrt 2 D_{1123} & \sqrt 2 D_{1113} \\
  D_{2211} & D_{2222} & D_{2233}  & \sqrt 2 D_{2212} & \sqrt 2 D_{2223} & \sqrt 2 D_{2213} \\
  D_{3311} & D_{3322} & D_{3333}  & \sqrt 2 D_{3312} & \sqrt 2 D_{3323} & \sqrt 2 D_{3313} \\
  \sqrt 2 D_{1211} & \sqrt 2 D_{1222} & \sqrt 2 D_{1233}  & 2 D_{1212} & 2 D_{1223} & 2 D_{1213} \\
  \sqrt 2 D_{2311} & \sqrt 2 D_{2322} & \sqrt 2 D_{2333}  & 2 D_{2312} & 2 D_{2323} & 2 D_{2313} \\
  \sqrt 2 D_{1311} & \sqrt 2 D_{1322} & \sqrt 2 D_{1333}  & 2 D_{1312} & 2 D_{1323} & 2 D_{1313} \\
\end{pmatrix}

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Epônimo do físico Woldemar Voigt, é de uso prático em cálculos envolvendo modelos constitutivos para a simulação de materiais sólidos, tais como a lei de Hooke, bem como no método dos elementos finitos.

A lei de Hooke consiste em um tensor simétrico de quarta ordem, com 81 componentes (3×3×3×3), relacionando dois tensores simétricos de segunda ordem, os tensores tensão e deformação. A notação de Voigt permite que este tensor seja reduzido a uma matriz simétrica 6×6.[1]


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Referências

  1. Westphal Jr. T.: Constitutive Equations for Linear Elastic Materials. (em inglês) Programa na linguagem Maple para modelos constitutivos utilizando a notação de Voigt.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • P. Helnwein (2001). Some Remarks on the Compressed Matrix Representation of Symmetric Second-Order and Fourth-Order Tensors. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190(22–23):2753–2770

Ver também[editar | editar código-fonte]