Símbolos de Christoffel

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Em matemática e física, os símbolos de Christoffel, assim nomeados por Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), são expressões em coordenadas espaciais para a conexão de Levi-Civita derivada do tensor métrico. Em sentido amplo, as derivativas covariantes de uma conexão afim arbitrária (não necessariamente métrica) em uma base coordenada são normalmente chamadas de símbolos de Christoffel. Se utilizam os símbolos de Christoffel sempre que cálculos práticos que implicam geometria devam ser realizados, pois permitem que cálculos muito complexos sejam realizados sem confusão. Inversamente, a notação formal, sem índices, para a conexão de Levi-Civita é elegante, e permite que os teoremas sejam estabelecidos de um modo breve, porém são quase inúteis para os cálculos práticos.

Os símbolos podem ser do primeiro tipo:

\Gamma_{cab}
=\frac12 \left(\frac{\partial g_{ca}}{\partial x^b} + \frac{\partial g_{cb}}{\partial x^a} - \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c} \right)
= \frac12\, (g_{ca, b} + g_{cb, a} - g_{ab, c}) 
= \frac12\, \left(\partial_{b}g_{ca} + \partial_{a}g_{cb} - \partial_{c}g_{ab}\right) \,.

Ou do segundo tipo:

\Gamma^i{}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \

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