Função de Heaviside

Gráfico da função de Heaviside

Em matemática e estatística, a função de Heaviside (ou função degrau) é uma função singular e função descontínua com valor zero quando o seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a média dos limites laterias da funçao (pela esquerda e pela direita) calculados no ponto em que a abscissa vale "a". Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se definir:

$U(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}\;\;\;\;\;(1)$

sendo sgn a função sinal.

A função de Heaviside com descontinuidade em x = a é da forma:

$U(x-a)={\begin{cases}0,&x<a\\{\frac {1}{2}},&x=a\\1,&x>a\end{cases}}\;\;\;\;\;$

A função de Heavisde admite diversas representações. Em especial, como limite de funções contínuas, ver seção correspondente.

Aproximações contínuas para a função de Heaviside

A expressão (1) define U(x) como uma função descontínua. Em algumas aplicações, é útil partir de funções contínuas adequadas e definir U(x) como um limite. Por exemplo:

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;\arctan \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\right]\;\;\;\;\;(2a)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0^{-}}\;{\frac {1}{2}}\;{\text{erfc}}\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\;\;\;\;\;(2b)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {1}{2}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\;Si\left({\frac {\pi x}{\epsilon }}\right)\right]\;\;\;\;\;(2c)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{rect}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\right)du\;\;\;\;\;(2d)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\epsilon }}\;{\text{tri}}\left({\frac {u}{\epsilon }}\;-\;{\frac {1}{2}}\right)du\;\;\;\;\;(2e)$

$U(x)\;=\;\lim _{\epsilon \to 0+}\left[1\;-\;e^{-\left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}\right]\;\;\;\;\;(2f)$

onde erfc(x) é a função erro complementar = 1 - erf(x), Si é a função seno integral, rect é a função retangular e tri(x) é a função triangular.

Relação com outras funções

Função sinal

A expressão (1) deixa clara a relação algébrica entre U(x) e sgn(x). Podemos escrever também:

$\operatorname {sgn}(x)\;=\;2U(x)\;-\;1\;\;\;\;\;(3a)$

Delta de Dirac

A distribuição (ou função generalizada) Delta de Dirac δ(x) pode ser vista informalmente como a derivada da função de passo de Heaviside. De outra maneira, ao efetuarmos a diferença entre duas funções degrau, como por exemplo U(x-(a-ε/2))-U(x-(a+ε/2)) (com ε positivo), e tendermos o valor de ε à zero, temos que o valor da diferença tende à infinito e assume o valor de Função Delta de Dirac. Nesse processo impõe-se que a área abaixo do gráfico da diferença das Heavisides seja constante e com valor unitário. Ou seja, defini-se:

$U(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (u)\;du\;\;\;\;\;(3b)$

$\delta (x)={\frac {d}{dx}}\;U(x)\;\;\;\;\;(3c)$

Mais formalmente, pode-se escrever (3c) da seguinte maneira:

$\delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}\;{\frac {d}{dx}}\;U(\epsilon ,x)$

com U(ε,x) dada por alguma das expressões (2a) a (2f), que são diferenciáveis em x = 0.

Função retangular

A função retangular pode ser escrita como:

${\text{rect}}(x)\;=\;U\left(x\;+\;{\frac {1}{2}}\right)\;-\;U\left(x\;-\;{\frac {1}{2}}\right)\;\;\;\;\;(3d)$

Função pulso

Uma função importante em aplicações é a função pulso, definida por:

$p(x)={\begin{cases}0,&x<a\\1,&a\leqslant x\leqslant b\\0,&x>b\end{cases}}\;\;\;\;\;$

é representada em termos da diferença de duas função de Heaviside:

$p(x)=U(x-a)-U(a-b),a<b$

Gráfico da função de heaviside como processo de limite da função rampa

Função de Heaviside como processo de limite da função rampa

Também chamada de aproximação linear da função de Heaviside, a utilizamos quando se torna necessário definir a transição 0 e ε. Para isso, supomos que tal ocorre de forma linear. Definimos a função:

$U\epsilon (t)={\begin{cases}0,&t\leqslant 0\\{\frac {t}{\epsilon }},&0\leq x\leq {\epsilon }\\1,&t>a\end{cases}}\;\;\;\;\;$

Sabendo que ε é um numero infinitamente pequeno, pode-se interpretar a função U(t) como:

$U(t)=\lim _{\epsilon \to 0+}\;U\epsilon (t)$

Transformada de Laplace da função de Heaviside

A transformada de Laplace da função de Heaviside é obtida direto da definição. considere a > 0:

${\mathcal {L}}({U}(t-a))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-a)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{a}\mathrm {e} ^{-st}*0\ +\int _{a}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}*1\,\mathrm {d} t={\frac {e^{-as}}{s}}$

Caso particular a = 0

${\mathcal {L}}({U}(t-0))=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}U(t-0)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}*1dt\ ={\frac {1}{s}}$

Visto que a funçao de Heaviside assume valor 1 a partir de a = 0, possui a mesma transformada de Laplace que o inteiro 1.

Aplicações Função de Heaviside

• Na área de mecânica dos sólidos costuma-se representar matematicamente os carregamentos retangulares uniformes com a Função de Heaviside, entre outras funções singulares;
• Na eletricidade usa-se do artificio oferecido pela função degrau para representar chaves que ligam e desligam.

Circuito RC em série, onde ε é a fonte de alimentação

• Circuito RC:

Supondo um circuito RC com capacitor inicialmente descarregado ( q0 = 0) , capacitância e resistências desconhecidas e com a tensão é ligada no instante a e desligada no instante b, deseja-se saber a corrente que passa pelo sistema:

1. $v(t)=vo(u(t-a)-u(t-b))$
2. $v(t)=R*i(t)+{\frac {1}{C}}*(q0+\int \limits _{0}^{\infty }i(\tau )d\tau )$

• Aplicando-se transformada de Laplace

1. $R*{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\frac {1}{C}}{\mathcal {L}}\{\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \}={\mathcal {L}}\{v(t)\}$
2. $R*I(s)+{\frac {1}{C}}*{\frac {I(s)}{s}}=v0[{\frac {e^{-as}}{s}}-{\frac {e^{-bs}}{s}}]$
3. $I(s)={\frac {v0C}{RCs+1}}*[e^{-as}-e^{-bs}]={\frac {v0}{R}}*{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*[e^{-as}-e^{-bs}]$

• Aplicando-se a transformada inversa de Laplace

1. ${\mathcal {L}}^{-1}\{I(s)\}={\frac {v0}{R}}*{\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*e^{-as}-{\frac {1}{s+{\frac {1}{RC}}}}*e^{-bs}\}$

   

   Gráfico da corrente em um circuito RC ligado e desligado em período a+b

2. $i(t)={\frac {v0}{R}}*[u(t-a)e^{-{\frac {t-a}{RC}}}-u(t-b)e^{-{\frac {t-b}{RC}}}]$

Com isso chegamos na seguinte expressão para a corrente num circuito RC com capacitância e resistência desconhecidos cuja fonte é ligada e desligada em instantes a e b:

$i(t)={\begin{cases}0,&t<a\\{\frac {vo}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}},&a<t<b\\{\frac {vo}{R}}e^{-{\frac {t-a}{RC}}}[e^{\frac {a}{RC}}-e^{\frac {b}{RC}}],&t>b\end{cases}}\;\;\;\;\;$

Ligações externas

• Funções Características